1602.

Kvadratna funkcija

TEKST ZADATKA

Za koju vrednost realnog parametra m m funkcija y=x2−mx+m+1 y = x^2 - mx + m + 1 ima minimum jednak −2? -2 ?

REŠENJE ZADATKA

Data funkcija je kvadratna funkcija oblika y=ax2+bx+c. y = ax^2 + bx + c . Kako je koeficijent uz kvadratni član a=1>0, a = 1 > 0 , funkcija ima minimum u temenu parabole.

ymin=4ac−b24ay_{min} = \frac{4ac - b^2}{4a}

Iz jednačine funkcije y=x2−mx+m+1 y = x^2 - mx + m + 1 identifikujemo koeficijente:

a=1,b=−m,c=m+1a = 1, \quad b = -m, \quad c = m + 1

Postavljamo uslov da je minimum funkcije jednak −2: -2 :

4⋅1⋅(m+1)−(−m)24⋅1=−2\frac{4 \cdot 1 \cdot (m + 1) - (-m)^2}{4 \cdot 1} = -2

Sređujemo izraz u brojocu i množimo celu jednačinu sa 4:

4(m+1)−m2=−84(m + 1) - m^2 = -8

Oslobađamo se zagrada i prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu po m: m :

4m+4−m2+8=0  ⟹  −m2+4m+12=04m + 4 - m^2 + 8 = 0 \implies -m^2 + 4m + 12 = 0

Množimo jednačinu sa −1 -1 radi lakšeg računanja:

m2−4m−12=0m^2 - 4m - 12 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po m: m :

m1,2=−(−4)±(−4)2−4⋅1⋅(−12)2⋅1m_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom:

m1,2=4±16+482=4±642m_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2}

Dobijamo dva moguća rešenja za parametar m: m :

m1=4+82=6,m2=4−82=−2m_1 = \frac{4 + 8}{2} = 6, \quad m_2 = \frac{4 - 8}{2} = -2

Zaključujemo da funkcija ima minimum −2 -2 za sledeće vrednosti parametra:

m∈{−2,6}m \in \{-2, 6\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti