1602. Kvadratna funkcija

Data funkcija je kvadratna funkcija oblika $y = ax^2 + bx + c .$ Kako je koeficijent uz kvadratni član $a = 1 > 0 ,$ funkcija ima minimum u temenu parabole.

y_{min} = \frac{4ac - b^2}{4a}

Iz jednačine funkcije $y = x^2 - mx + m + 1$ identifikujemo koeficijente:

a = 1, \quad b = -m, \quad c = m + 1

Postavljamo uslov da je minimum funkcije jednak $-2 :$

\frac{4 \cdot 1 \cdot (m + 1) - (-m)^2}{4 \cdot 1} = -2

Sređujemo izraz u brojocu i množimo celu jednačinu sa 4:

4(m + 1) - m^2 = -8

Oslobađamo se zagrada i prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu po $m :$

4m + 4 - m^2 + 8 = 0 \implies -m^2 + 4m + 12 = 0

Množimo jednačinu sa $-1$ radi lakšeg računanja:

m^2 - 4m - 12 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $m :$

m_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom:

m_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2}

Dobijamo dva moguća rešenja za parametar $m :$

m_1 = \frac{4 + 8}{2} = 6, \quad m_2 = \frac{4 - 8}{2} = -2

Zaključujemo da funkcija ima minimum $-2$ za sledeće vrednosti parametra:

m \in \{-2, 6\}

258