1589. Kvadratna funkcija

REŠENJE ZADATKA

Data funkcija je kvadratna funkcija oblika $f(x) = ax^2 + bx + c .$ Prvo identifikujemo koeficijente:

a = -\frac{1}{2}, \quad b = \frac{1}{2}, \quad c = 6

Pošto je koeficijent $a < 0$ ( $a = -\frac{1}{2}$ ), parabola je okrenuta otvorom nadole, što znači da funkcija ima maksimum u temenu parabole.

Računamo x-koordinatu temena ( $x_T$ ) koja predstavlja tačku u kojoj funkcija dostiže ekstremnu vrednost:

x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{\frac{1}{2}}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{\frac{1}{2}}{-1} = \frac{1}{2}

Sada računamo y-koordinatu temena ( $y_T$ ), koja predstavlja samu ekstremnu vrednost (maksimum) funkcije. To možemo uraditi zamenom $x_T$ u funkciju:

y_T = f(x_T) = -\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right) + 6

Izvršavamo stepenovanje i množenje:

y_T = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 6 = -\frac{1}{8} + \frac{1}{4} + 6

Svodimo na zajednički imenilac:

y_T = -\frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{48}{8} = \frac{49}{8}

Funkcija dostiže svoju maksimalnu vrednost za $x = \frac{1}{2} ,$ a ta vrednost iznosi:

f_{max} = \frac{49}{8} = 6.125

257.g