1553. Kvadratna funkcija

Na osnovu zadatih vrednosti funkcije, postavljamo sistem od tri jednačine sa tri nepoznate $a, b, c :$

\begin{cases} f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = 5 \\ f(3) = a(3)^2 + b(3) + c = 45 \\ f(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 20 \end{cases}

Sređivanjem dobijamo sledeći sistem:

\begin{cases} a - b + c = 5 \quad (1) \\ 9a + 3b + c = 45 \quad (2) \\ 4a + 2b + c = 20 \quad (3) \end{cases}

Eliminišemo promenljivu $c$ tako što oduzmemo jednačinu (1) od jednačina (2) i (3):

\begin{cases} (9a + 3b + c) - (a - b + c) = 45 - 5 \\ (4a + 2b + c) - (a - b + c) = 20 - 5 \end{cases}

Nakon oduzimanja, dobijamo sistem sa dve nepoznate:

\begin{cases} 8a + 4b = 40 \quad /: 4 \\ 3a + 3b = 15 \quad /: 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 2a + b = 10 \quad (4) \\ a + b = 5 \quad (5) \end{cases}

Oduzimanjem jednačine (5) od jednačine (4) računamo koeficijent $a :$

(2a + b) - (a + b) = 10 - 5 \implies a = 5

Zamenom $a = 5$ u jednačinu (5) računamo koeficijent $b :$

5 + b = 5 \implies b = 0

Na kraju, zamenom $a = 5$ i $b = 0$ u jednačinu (1) računamo koeficijent $c :$

5 - 0 + c = 5 \implies c = 0

Rešenja za koeficijente su:

a = 5, \quad b = 0, \quad c = 0

252.a