TEKST ZADATKA
U kvadratnoj funkciji f ( x ) = a x 2 + b x + c f(x) = ax^2 + bx + c f ( x ) = a x 2 + b x + c odrediti koeficijente a , a , a , b b b i c c c ako grafik funkcije prolazi kroz tačke A ( 2 , 18 ) , A(2, 18) , A ( 2 , 18 ) , B ( − 3 , − 12 ) , B(-3, -12) , B ( − 3 , − 12 ) , C ( 3 , 42 ) . C(3, 42) . C ( 3 , 42 ) .
REŠENJE ZADATKA
Pošto grafik prolazi kroz date tačke, koordinate svake tačke moraju zadovoljavati jednačinu funkcije f ( x ) = a x 2 + b x + c . f(x) = ax^2 + bx + c . f ( x ) = a x 2 + b x + c . Zamenom koordinata dobijamo sistem od tri jednačine sa tri nepoznate:
{ a ( 2 ) 2 + b ( 2 ) + c = 18 a ( − 3 ) 2 + b ( − 3 ) + c = − 12 a ( 3 ) 2 + b ( 3 ) + c = 42 \begin{cases} a(2)^2 + b(2) + c = 18 \\ a(-3)^2 + b(-3) + c = -12 \\ a(3)^2 + b(3) + c = 42 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ a ( 2 ) 2 + b ( 2 ) + c = 18 a ( − 3 ) 2 + b ( − 3 ) + c = − 12 a ( 3 ) 2 + b ( 3 ) + c = 42 Sređujemo kvadrate i koeficijente u jednačinama:
{ 4 a + 2 b + c = 18 ( 1 ) 9 a − 3 b + c = − 12 ( 2 ) 9 a + 3 b + c = 42 ( 3 ) \begin{cases} 4a + 2b + c = 18 & (1) \\ 9a - 3b + c = -12 & (2) \\ 9a + 3b + c = 42 & (3) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ 4 a + 2 b + c = 18 9 a − 3 b + c = − 12 9 a + 3 b + c = 42 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) Najlakše je prvo eliminisati b b b sabiranjem druge i treće jednačine ili oduzimanjem prve dve. Saberimo jednačine (2) i (3):
( 9 a − 3 b + c ) + ( 9 a + 3 b + c ) = − 12 + 42 ⟹ 18 a + 2 c = 30 (9a - 3b + c) + (9a + 3b + c) = -12 + 42 \implies 18a + 2c = 30 ( 9 a − 3 b + c ) + ( 9 a + 3 b + c ) = − 12 + 42 ⟹ 18 a + 2 c = 30 Deljenjem sa 2 dobijamo jednostavniju vezu između a a a i c : c : c :
9 a + c = 15 ⟹ c = 15 − 9 a 9a + c = 15 \implies c = 15 - 9a 9 a + c = 15 ⟹ c = 15 − 9 a Sada oduzimamo jednačinu (2) od jednačine (3) da bismo direktno izračunali b : b : b :
( 9 a + 3 b + c ) − ( 9 a − 3 b + c ) = 42 − ( − 12 ) ⟹ 6 b = 54 (9a + 3b + c) - (9a - 3b + c) = 42 - (-12) \implies 6b = 54 ( 9 a + 3 b + c ) − ( 9 a − 3 b + c ) = 42 − ( − 12 ) ⟹ 6 b = 54 Računamo vrednost koeficijenta b : b : b :
b = 54 6 = 9 b = \frac{54}{6} = 9 b = 6 54 = 9 Sada vrednosti b = 9 b = 9 b = 9 i c = 15 − 9 a c = 15 - 9a c = 15 − 9 a zamenjujemo u prvu jednačinu 4 a + 2 b + c = 18 : 4a + 2b + c = 18 : 4 a + 2 b + c = 18 :
4 a + 2 ( 9 ) + ( 15 − 9 a ) = 18 4a + 2(9) + (15 - 9a) = 18 4 a + 2 ( 9 ) + ( 15 − 9 a ) = 18 Rešavamo po a : a : a :
4 a + 18 + 15 − 9 a = 18 ⟹ − 5 a + 33 = 18 ⟹ − 5 a = − 15 4a + 18 + 15 - 9a = 18 \implies -5a + 33 = 18 \implies -5a = -15 4 a + 18 + 15 − 9 a = 18 ⟹ − 5 a + 33 = 18 ⟹ − 5 a = − 15 Vrednost koeficijenta a a a je:
Na kraju, računamo c c c koristeći izraz c = 15 − 9 a : c = 15 - 9a : c = 15 − 9 a :
c = 15 − 9 ( 3 ) = 15 − 27 = − 12 c = 15 - 9(3) = 15 - 27 = -12 c = 15 − 9 ( 3 ) = 15 − 27 = − 12 Traženi koeficijenti su:
a = 3 , b = 9 , c = − 12 a = 3, \, b = 9, \, c = -12 a = 3 , b = 9 , c = − 12