Kvadratna funkcija kroz A(2,18), B(-3,-12) i C(3,42)

Pošto grafik prolazi kroz date tačke, koordinate svake tačke moraju zadovoljavati jednačinu funkcije $f(x) = ax^2 + bx + c .$ Zamenom koordinata dobijamo sistem od tri jednačine sa tri nepoznate:

\begin{cases} a(2)^2 + b(2) + c = 18 \\ a(-3)^2 + b(-3) + c = -12 \\ a(3)^2 + b(3) + c = 42 \end{cases}

Sređujemo kvadrate i koeficijente u jednačinama:

\begin{cases} 4a + 2b + c = 18 & (1) \\ 9a - 3b + c = -12 & (2) \\ 9a + 3b + c = 42 & (3) \end{cases}

Najlakše je prvo eliminisati $b$ sabiranjem druge i treće jednačine ili oduzimanjem prve dve. Saberimo jednačine (2) i (3):

(9a - 3b + c) + (9a + 3b + c) = -12 + 42 \implies 18a + 2c = 30

Deljenjem sa 2 dobijamo jednostavniju vezu između $a$ i $c :$

9a + c = 15 \implies c = 15 - 9a

Sada oduzimamo jednačinu (2) od jednačine (3) da bismo direktno izračunali $b :$

(9a + 3b + c) - (9a - 3b + c) = 42 - (-12) \implies 6b = 54

Računamo vrednost koeficijenta $b :$

b = \frac{54}{6} = 9

Sada vrednosti $b = 9$ i $c = 15 - 9a$ zamenjujemo u prvu jednačinu $4a + 2b + c = 18 :$

4a + 2(9) + (15 - 9a) = 18

Rešavamo po $a :$

4a + 18 + 15 - 9a = 18 \implies -5a + 33 = 18 \implies -5a = -15

Vrednost koeficijenta $a$ je:

a = 3

Na kraju, računamo $c$ koristeći izraz $c = 15 - 9a :$

c = 15 - 9(3) = 15 - 27 = -12

Traženi koeficijenti su:

a = 3, \, b = 9, \, c = -12

Započni učenje

Privatni časovi

251

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci