Racionalisanje imenioca: četvrti koren iz 3 + osmi iz 2

Primetimo da je imenilac oblika $a + b ,$ gde je $a = \sqrt[4]{3}$ i $b = \sqrt[8]{2} .$ Da bismo eliminisali korene, prvo proširujemo razlomak razlikom $a - b$ koristeći formulu za razliku kvadrata $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .$

\frac{14}{\sqrt[4]{3} + \sqrt[8]{2}} \cdot \frac{\sqrt[4]{3} - \sqrt[8]{2}}{\sqrt[4]{3} - \sqrt[8]{2}}

Nakon množenja u imeniocu dobijamo razliku kvadrata:

\frac{14(\sqrt[4]{3} - \sqrt[8]{2})}{(\sqrt[4]{3})^2 - (\sqrt[8]{2})^2} = \frac{14(\sqrt[4]{3} - \sqrt[8]{2})}{\sqrt{3} - \sqrt[4]{2}}

Sada je potrebno ponovo racionalisati novi imenilac $\sqrt{3} - \sqrt[4]{2} .$ Proširujemo razlomak izrazom $\sqrt{3} + \sqrt[4]{2} .$

\frac{14(\sqrt[4]{3} - \sqrt[8]{2})}{\sqrt{3} - \sqrt[4]{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} + \sqrt[4]{2}}{\sqrt{3} + \sqrt[4]{2}}

U imeniocu ponovo dobijamo razliku kvadrata:

\frac{14(\sqrt[4]{3} - \sqrt[8]{2})(\sqrt{3} + \sqrt[4]{2})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt[4]{2})^2} = \frac{14(\sqrt[4]{3} - \sqrt[8]{2})(\sqrt{3} + \sqrt[4]{2})}{3 - \sqrt{2}}

Konačno, vršimo poslednju racionalizaciju množenjem sa $3 + \sqrt{2} .$

\frac{14(\sqrt[4]{3} - \sqrt[8]{2})(\sqrt{3} + \sqrt[4]{2})}{3 - \sqrt{2}} \cdot \frac{3 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}}

Računamo vrednost imenioca:

(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7

Skraćujemo brojilac i imenilac sa 7 i dobijamo konačan rezultat:

\frac{14(\sqrt[4]{3} - \sqrt[8]{2})(\sqrt{3} + \sqrt[4]{2})(3 + \sqrt{2})}{7} = 2(\sqrt[4]{3} - \sqrt[8]{2})(\sqrt{3} + \sqrt[4]{2})(3 + \sqrt{2})

Započni učenje

Online časovi

39.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci