Skup tačaka: |(z + 3)/(1 - konjugovano z)| = 1

Primenjujemo osobinu modula količnika kompleksnih brojeva: modul količnika jednak je količniku modula. Takođe, postavljamo uslov da imenilac mora biti različit od nule.

\frac{|z + 3|}{|1 - \overline{z}|} = 1, \quad 1 - \overline{z} \neq 0

Množenjem obe strane jednačine sa $|1 - \overline{z}| ,$ dobijamo jednakost modula:

|z + 3| = |1 - \overline{z}|

Uvodimo algebarski oblik kompleksnog broja $z = x + iy ,$ gde su $x, y \in \mathbb{R} .$ Tada je konjugovano kompleksni broj $\overline{z} = x - iy .$

|(x + iy) + 3| = |1 - (x - iy)|

Grupišemo realne i imaginarne delove unutar modula pre primene definicije modula $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} .$

|(x + 3) + iy| = |(1 - x) + iy|

Kvadriramo obe strane jednačine kako bismo uklonili korene iz definicije modula.

(x + 3)^2 + y^2 = (1 - x)^2 + y^2

Oduzimamo $y^2$ sa obe strane i razvijamo kvadrate binoma.

x^2 + 6x + 9 = 1 - 2x + x^2

Sređujemo jednačinu prebacivanjem svih članova sa $x$ na jednu stranu, a slobodnih članova na drugu.

6x + 2x = 1 - 9 \implies 8x = -8

Deljenjem sa 8 dobijamo vrednost realnog dela, dok imaginarni deo $y$ može biti bilo koji realan broj, uz proveru početnog uslova $z \neq 1 .$

x = -1, \quad y \in \mathbb{R}

Konačno rešenje su svi kompleksni brojevi čiji je realni deo jednak -1.

z = -1 + iy, \quad y \in \mathbb{R}

Započni učenje

Privatni časovi

100.z

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci