1423.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti sve kompleksne brojeve z z za koje je:

∣z+31−z‾∣=1\left|\frac{z + 3}{1 - \overline{z}}\right| = 1
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo osobinu modula količnika kompleksnih brojeva: modul količnika jednak je količniku modula. Takođe, postavljamo uslov da imenilac mora biti različit od nule.

∣z+3∣∣1−z‾∣=1,1−z‾≠0\frac{|z + 3|}{|1 - \overline{z}|} = 1, \quad 1 - \overline{z} \neq 0

Množenjem obe strane jednačine sa ∣1−z‾∣, |1 - \overline{z}| , dobijamo jednakost modula:

∣z+3∣=∣1−z‾∣|z + 3| = |1 - \overline{z}|

Uvodimo algebarski oblik kompleksnog broja z=x+iy, z = x + iy , gde su x,y∈R. x, y \in \mathbb{R} . Tada je konjugovano kompleksni broj z‾=x−iy. \overline{z} = x - iy .

∣(x+iy)+3∣=∣1−(x−iy)∣|(x + iy) + 3| = |1 - (x - iy)|

Grupišemo realne i imaginarne delove unutar modula pre primene definicije modula ∣a+bi∣=a2+b2. |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} .

∣(x+3)+iy∣=∣(1−x)+iy∣|(x + 3) + iy| = |(1 - x) + iy|

Kvadriramo obe strane jednačine kako bismo uklonili korene iz definicije modula.

(x+3)2+y2=(1−x)2+y2(x + 3)^2 + y^2 = (1 - x)^2 + y^2

Oduzimamo y2 y^2 sa obe strane i razvijamo kvadrate binoma.

x2+6x+9=1−2x+x2x^2 + 6x + 9 = 1 - 2x + x^2

Sređujemo jednačinu prebacivanjem svih članova sa x x na jednu stranu, a slobodnih članova na drugu.

6x+2x=1−9  ⟹  8x=−86x + 2x = 1 - 9 \implies 8x = -8

Deljenjem sa 8 dobijamo vrednost realnog dela, dok imaginarni deo y y može biti bilo koji realan broj, uz proveru početnog uslova z≠1. z \neq 1 .

x=−1,y∈Rx = -1, \quad y \in \mathbb{R}

Konačno rešenje su svi kompleksni brojevi čiji je realni deo jednak -1.

z=−1+iy,y∈Rz = -1 + iy, \quad y \in \mathbb{R}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti