1421.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti sve kompleksne brojeve z z za koje je:

z2+∣z∣=0z^2 + |z| = 0
REŠENJE ZADATKA

Pretpostavimo da je kompleksan broj z z zapisan u algebarskom obliku z=x+iy, z = x + iy , gde su x,y∈R. x, y \in \mathbb{R} . Tada je z2=(x+iy)2=x2−y2+i2xy, z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + i2xy , a modul je ∣z∣=x2+y2. |z| = \sqrt{x^2 + y^2} .

x2−y2+i2xy+x2+y2=0x^2 - y^2 + i2xy + \sqrt{x^2 + y^2} = 0

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im realni i imaginarni delovi jednaki nuli. Formiramo sistem jednačina:

{x2−y2+x2+y2=02xy=0\begin{cases} x^2 - y^2 + \sqrt{x^2 + y^2} = 0 \\ 2xy = 0 \end{cases}

Iz druge jednačine 2xy=0 2xy = 0 sledi da je x=0 x = 0 ili y=0. y = 0 . Razmatramo oba slučaja.

x=0iliy=0x = 0 \quad \text{ili} \quad y = 0

Slučaj 1: Ako je x=0, x = 0 , zamenom u prvu jednačinu dobijamo:

−y2+y2=0  ⟹  −y2+∣y∣=0-y^2 + \sqrt{y^2} = 0 \implies -y^2 + |y| = 0

Rešavamo jednačinu ∣y∣=y2. |y| = y^2 . Pošto je y2=∣y∣2, y^2 = |y|^2 , imamo ∣y∣=∣y∣2, |y| = |y|^2 , što daje ∣y∣(∣y∣−1)=0. |y|(|y| - 1) = 0 . Rešenja su y=0,y=1,y=−1. y = 0, y = 1, y = -1 .

z1=0,z2=i,z3=−iz_1 = 0, \quad z_2 = i, \quad z_3 = -i

Slučaj 2: Ako je y=0, y = 0 , zamenom u prvu jednačinu dobijamo:

x2+x2=0  ⟹  x2+∣x∣=0x^2 + \sqrt{x^2} = 0 \implies x^2 + |x| = 0

Pošto su x2 x^2 i ∣x∣ |x| uvek nenegativni, njihov zbir može biti nula samo ako su oba sabirka nula. Dakle, x=0. x = 0 .

x=0  ⟹  z=0x = 0 \implies z = 0

Objedinjujemo sva rešenja koja smo pronašli.

z∈{0,i,−i}z \in \{0, i, -i\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti