1424.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti sve kompleksne brojeve z z za koje je:

∣z−2z+3∣=1\left|\frac{z - 2}{z + 3}\right| = 1
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo osobinu modula količnika dva kompleksna broja, gde je modul količnika jednak količniku modula, uz uslov da je imenilac različit od nule.

∣z−2∣∣z+3∣=1,z≠−3\frac{|z - 2|}{|z + 3|} = 1, \quad z \neq -3

Množimo obe strane jednačine sa ∣z+3∣. |z + 3| .

∣z−2∣=∣z+3∣|z - 2| = |z + 3|

Uvodimo algebarski oblik kompleksnog broja z=x+iy, z = x + iy , gde su x x i y y realni brojevi.

∣x+iy−2∣=∣x+iy+3∣|x + iy - 2| = |x + iy + 3|

Grupišemo realne i imaginarne delove unutar modula.

∣(x−2)+iy∣=∣(x+3)+iy∣|(x - 2) + iy| = |(x + 3) + iy|

Primenjujemo definiciju modula kompleksnog broja ∣a+bi∣=a2+b2. |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} .

(x−2)2+y2=(x+3)2+y2\sqrt{(x - 2)^2 + y^2} = \sqrt{(x + 3)^2 + y^2}

Kvadriramo obe strane jednačine kako bismo uklonili korene.

(x−2)2+y2=(x+3)2+y2(x - 2)^2 + y^2 = (x + 3)^2 + y^2

Oduzimamo y2 y^2 sa obe strane i razvijamo kvadrate binoma.

x2−4x+4=x2+6x+9x^2 - 4x + 4 = x^2 + 6x + 9

Sređujemo jednačinu prebacivanjem svih članova sa x x na jednu stranu, a konstanti na drugu.

−4x−6x=9−4  ⟹  −10x=5-4x - 6x = 9 - 4 \implies -10x = 5

Računamo vrednost x. x .

x=−510=−12x = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2}

Zaključujemo da realni deo broja z z mora biti −1/2, -1/2 , dok imaginarni deo y y može biti bilo koji realan broj. Skup rešenja predstavlja pravu u kompleksnoj ravni.

z=−12+iy,y∈Rz = -\frac{1}{2} + iy, \quad y \in \mathbb{R}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti