5821. Ispitivanje toka funkcije

Ispitujemo redom: oblast definisanosti, nule i znak, parnost, asimptote, monotonost i ekstremume (prvi izvod), konveksnost i prevojne tačke (drugi izvod), pa crtamo grafik.

Imenilac mora biti različit od nule: $x\neq0 .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R}\setminus\{0\} .$

Nule nalazimo iz jednačine $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=- \sqrt[3]{2}\approx-1{,}26 .$

Znak funkcije određujemo iz znakova činilaca:

x\in(-\infty,- \sqrt[3]{2})

x\in(- \sqrt[3]{2},0)

x\in(0,+\infty)

x

-

-

+

x^{3} + 2

-

+

+

f(x)

+

-

+

Funkcija nije ni parna ni neparna: na primer $f(1)=\frac{3}{2} ,$ a $f(-1)=- \frac{1}{2} .$

Vertikalne asimptote tražimo na krajevima oblasti definisanosti koji nisu u njoj (tačke u kojima funkcija nije definisana). Granična vrednost je beskonačna, pa je $x=0$ vertikalna asimptota.

\lim_{x\to0^{-}}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to0^{+}}f(x)=+\infty

Kada $x\to+\infty$ je $\lim f(x)=+\infty ,$ a $\frac{f(x)}x$ ne teži konačnom broju različitom od nule, pa na toj strani nema ni horizontalne ni kose asimptote.

\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty

Kada $x\to-\infty$ je $\lim f(x)=+\infty ,$ a $\frac{f(x)}x$ ne teži konačnom broju različitom od nule, pa na toj strani nema ni horizontalne ni kose asimptote.

\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}x=-\infty

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod nalazimo pravilima za izvod zbira, proizvoda, količnika i složene funkcije, pa ga rastavljamo na činioce:

f'(x)=\frac{\left(3 x^{2}\right)\left(2 x\right)-\left(x^{3} + 2\right)\left(2\right)}{\left(2 x\right)^{2}}=\frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} + x + 1\right)}{x^{2}}

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=1 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

x\in(-\infty,0)

x\in(0,1)

x\in(1,+\infty)

x^{2}

+

+

+

x - 1

-

-

+

x^{2} + x + 1

+

+

+

f'(x)

-

-

+

f(x)

\searrow

\searrow

\nearrow

Funkcija raste na $(1,+\infty) ,$ a opada na $(-\infty,0)$ i na $(0,1) .$

U tački $x=1$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(1)=\frac{3}{2} .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Drugi izvod je izvod prvog izvoda. Diferenciramo $f'(x)$ i sređujemo:

f''(x)=\frac{x^{3} + 2}{x^{3}}

x\in(-\infty,- \sqrt[3]{2})

x\in(- \sqrt[3]{2},0)

x\in(0,+\infty)

x^{3}

-

-

+

x^{3} + 2

-

+

+

f''(x)

+

-

+

f(x)

\cup

\cap

\cup

Funkcija je konveksna ( $\cup$ ) na $(-\infty,- \sqrt[3]{2})$ i na $(0,+\infty) ,$ a konkavna ( $\cap$ ) na $(- \sqrt[3]{2},0) .$ Drugi izvod menja znak u $x=- \sqrt[3]{2}\approx-1{,}26 ,$ pa je prevojna tačka $\left(- \sqrt[3]{2}\approx-1{,}26,\ 0\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(1,+\infty) ,$ a opada na $(-\infty,0)$ i na $(0,1)$ ; lokalni minimum $\left(1,\ \frac{3}{2}\right)$ ; asimptote: $x=0$ ; funkcija je konveksna ( $\cup$ ) na $(-\infty,- \sqrt[3]{2})$ i na $(0,+\infty) ,$ a konkavna ( $\cap$ ) na $(- \sqrt[3]{2},0)$ ; prevojne tačke u $x=- \sqrt[3]{2}\approx-1{,}26 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.

Započni učenje

Online časovi

245.k

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci