240.ž

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Znak drugog izvoda je znak sinusa: $\sin x>0$ za $x\in(2k\pi,(2k+1)\pi) ,$ a $\sin x<0$ za $x\in((2k+1)\pi,(2k+2)\pi) ,$ $k\in\mathbf{Z} .$ Na jednom periodu:

Drugi izvod menja znak u svakoj tački $x=k\pi ,$ a vrednost funkcije tu je $f(k\pi)=k\pi-\sin k\pi=k\pi .$

Funkcija je konveksna na $(2k\pi,(2k+1)\pi) ,$ konkavna na $((2k+1)\pi,(2k+2)\pi) ,$ a prevojne tačke su $(k\pi,k\pi) ,$ $k\in\mathbf{Z} .$