1930. Iracionalne jednačine i nejednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Potkorena veličina mora biti nenegativna:

x+1 \ge 0 \implies x \ge -1

Transformišemo izraz pod levim korenom tako što ćemo $x+5$ zapisati kao $(x+1)+4 :$

x+5-4\sqrt{x+1} = (x+1) - 4\sqrt{x+1} + 4

Primećujemo da je dobijeni izraz kvadrat binoma:

(x+1) - 4\sqrt{x+1} + 4 = (\sqrt{x+1}-2)^2

Zamenjujemo ovo nazad u početnu jednačinu:

\sqrt{(\sqrt{x+1}-2)^2} = \sqrt{x+1}-2

Koristimo osobinu korena $\sqrt{a^2} = |a| :$

|\sqrt{x+1}-2| = \sqrt{x+1}-2

Definišemo apsolutnu vrednost izraza:

|\sqrt{x+1}-2| = \begin{cases} \sqrt{x+1}-2, & \text{za } \sqrt{x+1}-2 \ge 0 \\ -(\sqrt{x+1}-2), & \text{za } \sqrt{x+1}-2 < 0 \end{cases}

Jednačina je oblika $|A| = A ,$ što je tačno ako i samo ako je $A \ge 0 .$ Dakle, mora važiti:

\sqrt{x+1}-2 \ge 0

Prebacujemo konstantu na desnu stranu:

\sqrt{x+1} \ge 2

Kvadriramo obe strane nejednačine (što je dozvoljeno jer su obe strane nenegativne):

x+1 \ge 4

Rešavamo po $x :$

x \ge 3

Ovo rešenje u potpunosti zadovoljava početni uslov domena $x \ge -1 .$ Zapisujemo konačno rešenje u obliku intervala:

x \in [3, +\infty)

1930.Iracionalne jednačine i nejednačine