5301. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Koristimo važnu graničnu vrednost $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e\approx2{,}71828 .$ Proverimo brojevima: za $x=10$ izraz iznosi $\approx2{,}5937 ,$ za $x=100$ $\approx2{,}7048 ,$ za $x=1000$ $\approx2{,}7169 .$ Po pravilu o smeni, isto važi kada umesto $x$ stoji bilo koji izraz $u$ koji teži beskonačnosti: $\left(1+\frac1u\right)^u\to e .$ Ekvivalentno, ako $t\to0 ,$ onda $(1+t)^{\frac1t}\to e .$

Ako osnova stepena teži broju $e ,$ a izložilac broju $L ,$ onda stepen teži broju $e^L$ (stepenovanje je neprekidno). Ako izložilac teži $+\infty ,$ stepen teži $+\infty ,$ a ako teži $-\infty ,$ stepen teži nuli (jer je $e>1$ ).

Izložilac $x^2=x\cdot x ,$ pa izraz pišemo kao stepen poznatog izraza:

\left(1+\frac1x\right)^{x^2}=\left[\left(1+\frac1x\right)^{x}\right]^{x}

Osnova u uglastoj zagradi teži broju $e\approx2{,}718 ,$ a izložilac $x$ raste neograničeno. Preciznije, za $x\geq1$ je $\left(1+\frac1x\right)^x\geq1+x\cdot\frac1x=2$ (Bernulijeva nejednakost $(1+h)^n\geq1+nh$ ), pa je ceo izraz najmanje $2^x ,$ a $2^x$ raste neograničeno:

\left(1+\frac1x\right)^{x^2}\geq2^x\to+\infty

Provera brojevima, za sve veće $x :$

\begin{gathered}x=2:\ f(x)=5{,}0625 \\ x=5:\ f(x)\approx95{,}3962 \\ x=10:\ f(x)\approx13780{,}6123\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac1x\right)^{x^2}=+\infty .$

Započni učenje

Online časovi

128.k

Beleške