3284.

105

TEKST ZADATKA

Ako je f(x)+3f(1x)=x2,x≠0, f(x) + 3f\left(\frac{1}{x}\right) = x^2, x \neq 0 , izračunati f(2). f(2) .

REŠENJE ZADATKA

Zamenom x=2 x = 2 u datu jednačinu dobijamo prvu vezu:

f(2)+3f(12)=22=4f(2) + 3f\left(\frac{1}{2}\right) = 2^2 = 4

Da bismo dobili drugu jednačinu koja povezuje iste nepoznate, zamenjujemo x=12 x = \frac{1}{2} u početnu jednačinu:

f(12)+3f(2)=(12)2=14f\left(\frac{1}{2}\right) + 3f(2) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}

Sada imamo sistem od dve jednačine sa dve nepoznate, f(2) f(2) i f(12): f\left(\frac{1}{2}\right) :

{f(2)+3f(12)=43f(2)+f(12)=14\begin{cases} f(2) + 3f\left(\frac{1}{2}\right) = 4 \\ 3f(2) + f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \end{cases}

Iz druge jednačine izražavamo f(12): f\left(\frac{1}{2}\right) :

f(12)=14−3f(2)f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - 3f(2)

Zamenjujemo ovaj izraz u prvu jednačinu:

f(2)+3(14−3f(2))=4f(2) + 3\left(\frac{1}{4} - 3f(2)\right) = 4

Množimo zagradu i sređujemo jednačinu:

f(2)+34−9f(2)=4f(2) + \frac{3}{4} - 9f(2) = 4

Grupišemo članove uz f(2) f(2) na jednoj strani, a slobodne članove na drugoj:

−8f(2)=4−34-8f(2) = 4 - \frac{3}{4}

Računamo vrednost na desnoj strani:

−8f(2)=16−34=134-8f(2) = \frac{16 - 3}{4} = \frac{13}{4}

Deljenjem sa −8 -8 dobijamo konačno rešenje za f(2): f(2) :

f(2)=−1332f(2) = -\frac{13}{32}