Funkcija g iz uslova za f i kompoziciju f sa g

Da bismo odredili funkciju $f(x) ,$ uvodimo smenu za izraz unutar funkcije. Neka je $t = 5x + 4 .$

5x + 4 = t

Izražavamo $x$ preko $t .$

5x = t - 4 \implies x = \frac{t - 4}{5}

Menjamo $x$ u početni izraz za funkciju $f .$

f(t) = \frac{1}{10 \cdot \frac{t - 4}{5} + 2}

Sređujemo izraz u imeniocu.

f(t) = \frac{1}{2(t - 4) + 2} = \frac{1}{2t - 8 + 2} = \frac{1}{2t - 6}

Zapisujemo funkciju $f$ preko promenljive $x .$

f(x) = \frac{1}{2x - 6}

Sada koristimo uslov za kompoziciju funkcija $(f \circ g)(x) = \frac{1}{2x} ,$ što po definiciji znači da je $f(g(x)) = \frac{1}{2x} .$

f(g(x)) = \frac{1}{2x}

Primenjujemo funkciju $f$ na $g(x)$ tako što umesto $x$ u izrazu za $f(x)$ pišemo $g(x) .$

\frac{1}{2g(x) - 6} = \frac{1}{2x}

Pošto su brojioci jednaki, izjednačavamo imenioce.

2g(x) - 6 = 2x

Rešavamo jednačinu po $g(x) .$

2g(x) = 2x + 6 \implies g(x) = x + 3

Konačna rešenja za tražene funkcije su:

f(x) = \frac{1}{2x - 6}, \quad g(x) = x + 3

102.a