3281.

102.a

TEKST ZADATKA

Ako je f(5x+4)=110x+2(x≠−15) f(5x + 4) = \frac{1}{10x + 2} \quad (x \neq -\frac{1}{5}) i (f∘g)(x)=12x(x≠0), (f \circ g)(x) = \frac{1}{2x} \quad (x \neq 0) , f,g:R→R, f, g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} , odrediti funkcije f f i g. g .

REŠENJE ZADATKA

Da bismo odredili funkciju f(x), f(x) , uvodimo smenu za izraz unutar funkcije. Neka je t=5x+4. t = 5x + 4 .

5x+4=t5x + 4 = t

Izražavamo x x preko t. t .

5x=t−4  ⟹  x=t−455x = t - 4 \implies x = \frac{t - 4}{5}

Menjamo x x u početni izraz za funkciju f. f .

f(t)=110⋅t−45+2f(t) = \frac{1}{10 \cdot \frac{t - 4}{5} + 2}

Sređujemo izraz u imeniocu.

f(t)=12(t−4)+2=12t−8+2=12t−6f(t) = \frac{1}{2(t - 4) + 2} = \frac{1}{2t - 8 + 2} = \frac{1}{2t - 6}

Zapisujemo funkciju f f preko promenljive x. x .

f(x)=12x−6f(x) = \frac{1}{2x - 6}

Sada koristimo uslov za kompoziciju funkcija (f∘g)(x)=12x, (f \circ g)(x) = \frac{1}{2x} , što po definiciji znači da je f(g(x))=12x. f(g(x)) = \frac{1}{2x} .

f(g(x))=12xf(g(x)) = \frac{1}{2x}

Primenjujemo funkciju f f na g(x) g(x) tako što umesto x x u izrazu za f(x) f(x) pišemo g(x). g(x) .

12g(x)−6=12x\frac{1}{2g(x) - 6} = \frac{1}{2x}

Pošto su brojioci jednaki, izjednačavamo imenioce.

2g(x)−6=2x2g(x) - 6 = 2x

Rešavamo jednačinu po g(x). g(x) .

2g(x)=2x+6  ⟹  g(x)=x+32g(x) = 2x + 6 \implies g(x) = x + 3

Konačna rešenja za tražene funkcije su:

f(x)=12x−6,g(x)=x+3f(x) = \frac{1}{2x - 6}, \quad g(x) = x + 3