3280.

104.b

TEKST ZADATKA

Neka su f:R→R f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} i g:R→R g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} linearne funkcije. Dokazati da je f f 1-1 i na preslikavanje.

REŠENJE ZADATKA

Po definiciji, linearna funkcija f f ima oblik:

f(x)=kx+n,k,n∈R,  k≠0f(x) = kx + n, \quad k, n \in \mathbf{R}, \; k \neq 0

Prvo dokazujemo da je funkcija f f '1-1' (injektivna). Pretpostavimo da za neka dva elementa x1,x2∈R x_1, x_2 \in \mathbf{R} važi:

f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2)

Zamenom definicije funkcije dobijamo:

kx1+n=kx2+nkx_1 + n = kx_2 + n

Oduzimanjem n n sa obe strane jednačine sledi:

kx1=kx2kx_1 = kx_2

Kako je k≠0, k \neq 0 , možemo podeliti jednačinu sa k: k :

x1=x2x_1 = x_2

Pošto iz f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) sledi x1=x2, x_1 = x_2 , dokazali smo da je funkcija f f '1-1'.

Sada dokazujemo da je funkcija f f 'na' (sirjektivna). Neka je y∈R y \in \mathbf{R} proizvoljan element kodomena. Tražimo x∈R x \in \mathbf{R} takvo da važi:

f(x)=yf(x) = y

Zamenom definicije funkcije dobijamo jednačinu po x: x :

kx+n=ykx + n = y

Rešavamo jednačinu po x: x :

kx=y−n  ⟹  x=y−nkkx = y - n \implies x = \frac{y - n}{k}

Pošto je k≠0, k \neq 0 , vrednost x=y−nk x = \frac{y - n}{k} je uvek dobro definisan realan broj. Time smo pokazali da za svako y y postoji x x takvo da je f(x)=y, f(x) = y , pa je funkcija 'na'.

Zaključujemo da je linearna funkcija f f i '1-1' i 'na' preslikavanje (bijekcija). Napomena: Funkcija g g iz postavke zadatka nije bila potrebna za ovaj dokaz.