104.b
Tekst zadatka namerno ne prikazujemo jer želimo da podržimo izdavača Krugove zbirke. Možeš pronaći tekst zadatka u zbirci.
Neka su i linearne funkcije. Dokazati da je 1-1 i na preslikavanje.
Po definiciji, linearna funkcija ima oblik:
Prvo dokazujemo da je funkcija '1-1' (injektivna). Pretpostavimo da za neka dva elementa važi:
Zamenom definicije funkcije dobijamo:
Oduzimanjem sa obe strane jednačine sledi:
Kako je možemo podeliti jednačinu sa
Pošto iz sledi dokazali smo da je funkcija '1-1'.
Sada dokazujemo da je funkcija 'na' (sirjektivna). Neka je proizvoljan element kodomena. Tražimo takvo da važi:
Zamenom definicije funkcije dobijamo jednačinu po
Rešavamo jednačinu po
Pošto je vrednost je uvek dobro definisan realan broj. Time smo pokazali da za svako postoji takvo da je pa je funkcija 'na'.
Zaključujemo da je linearna funkcija i '1-1' i 'na' preslikavanje (bijekcija). Napomena: Funkcija iz postavke zadatka nije bila potrebna za ovaj dokaz.