3279.

103.a

TEKST ZADATKA

Neka je f(x)=ax+b,a>0,f:R→R f(x) = ax + b, a > 0, f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} linearna funkcija i 1° (f∘f)(x)=9x−8 (f \circ f)(x) = 9x - 8 ; 2° (f∘f)(x)=x4−92. (f \circ f)(x) = \frac{x}{4} - \frac{9}{2} . Odrediti f(x) f(x) ;

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo odrediti opšti izraz za kompoziciju funkcije f f sa samom sobom. Zamenjujemo f(x) f(x) u samu funkciju:

(f∘f)(x)=f(f(x))=a(ax+b)+b(f \circ f)(x) = f(f(x)) = a(ax + b) + b

Sređivanjem ovog izraza dobijamo:

(f∘f)(x)=a2x+ab+b(f \circ f)(x) = a^2x + ab + b

Rešavamo prvi deo zadatka (1°). Izjednačavamo dobijeni izraz sa datim izrazom 9x−8: 9x - 8 :

a2x+ab+b=9x−8a^2x + ab + b = 9x - 8

Dva polinoma su jednaka ako su im odgovarajući koeficijenti jednaki. Izjednačavamo koeficijente uz x x i slobodne članove:

{a2=9ab+b=−8\begin{cases} a^2 = 9 \\ ab + b = -8 \end{cases}

Iz prve jednačine dobijamo vrednost za a. a . Pošto je u zadatku dato da je a>0, a > 0 , uzimamo samo pozitivno rešenje:

a=3a = 3

Zamenjujemo a=3 a = 3 u drugu jednačinu da bismo odredili b: b :

3b+b=−8  ⟹  4b=−8  ⟹  b=−23b + b = -8 \implies 4b = -8 \implies b = -2

Funkcija za prvi slučaj je:

f(x)=3x−2f(x) = 3x - 2

Sada rešavamo drugi deo zadatka (2°). Izjednačavamo opšti izraz sa x4−92: \frac{x}{4} - \frac{9}{2} :

a2x+ab+b=14x−92a^2x + ab + b = \frac{1}{4}x - \frac{9}{2}

Ponovo izjednačavamo odgovarajuće koeficijente:

{a2=14ab+b=−92\begin{cases} a^2 = \frac{1}{4} \\ ab + b = -\frac{9}{2} \end{cases}

Iz prve jednačine, uz uslov a>0, a > 0 , dobijamo:

a=12a = \frac{1}{2}

Zamenjujemo a=12 a = \frac{1}{2} u drugu jednačinu da bismo našli b: b :

12b+b=−92  ⟹  32b=−92  ⟹  b=−3\frac{1}{2}b + b = -\frac{9}{2} \implies \frac{3}{2}b = -\frac{9}{2} \implies b = -3

Funkcija za drugi slučaj je:

f(x)=12x−3f(x) = \frac{1}{2}x - 3