3279. Funkcije | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Neka je $f(x) = ax + b, a > 0, f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ linearna funkcija i 1° $(f \circ f)(x) = 9x - 8$ ; 2° $(f \circ f)(x) = \frac{x}{4} - \frac{9}{2} .$ Odrediti $f(x)$ ;

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo odrediti opšti izraz za kompoziciju funkcije $f$ sa samom sobom. Zamenjujemo $f(x)$ u samu funkciju:

(f \circ f)(x) = f(f(x)) = a(ax + b) + b

Sređivanjem ovog izraza dobijamo:

(f \circ f)(x) = a^2x + ab + b

Rešavamo prvi deo zadatka (1°). Izjednačavamo dobijeni izraz sa datim izrazom $9x - 8 :$

a^2x + ab + b = 9x - 8

Dva polinoma su jednaka ako su im odgovarajući koeficijenti jednaki. Izjednačavamo koeficijente uz $x$ i slobodne članove:

\begin{cases} a^2 = 9 \\ ab + b = -8 \end{cases}

Iz prve jednačine dobijamo vrednost za $a .$ Pošto je u zadatku dato da je $a > 0 ,$ uzimamo samo pozitivno rešenje:

a = 3

Zamenjujemo $a = 3$ u drugu jednačinu da bismo odredili $b :$

3b + b = -8 \implies 4b = -8 \implies b = -2

Funkcija za prvi slučaj je:

f(x) = 3x - 2

Sada rešavamo drugi deo zadatka (2°). Izjednačavamo opšti izraz sa $\frac{x}{4} - \frac{9}{2} :$

a^2x + ab + b = \frac{1}{4}x - \frac{9}{2}

Ponovo izjednačavamo odgovarajuće koeficijente:

\begin{cases} a^2 = \frac{1}{4} \\ ab + b = -\frac{9}{2} \end{cases}

Iz prve jednačine, uz uslov $a > 0 ,$ dobijamo:

a = \frac{1}{2}

Zamenjujemo $a = \frac{1}{2}$ u drugu jednačinu da bismo našli $b :$

\frac{1}{2}b + b = -\frac{9}{2} \implies \frac{3}{2}b = -\frac{9}{2} \implies b = -3

Funkcija za drugi slučaj je:

f(x) = \frac{1}{2}x - 3

103.a