Koeficijenti linearne funkcije iz drugog uslova

Funkcija $f(x) = ax + b$ za $a > 0$ je strogo rastuća linearna funkcija definisana na celom skupu realnih brojeva. Kao takva, ona je injektivna (1-1) i sirjektivna (na), što znači da je bijekcija i ima inverznu funkciju.

Odredimo opšti izraz za kompoziciju funkcije sa samom sobom, $(f \circ f)(x) .$

(f \circ f)(x) = f(f(x)) = a(ax + b) + b

Sređivanjem izraza dobijamo:

(f \circ f)(x) = a^2x + ab + b = a^2x + b(a + 1)

Rešavamo slučaj 1°. Izjednačavamo dobijeni izraz sa datim uslovom $(f \circ f)(x) = 9x - 8 .$

a^2x + b(a + 1) = 9x - 8

Dva polinoma su jednaka ako su im odgovarajući koeficijenti jednaki. Dobijamo sistem jednačina:

\begin{cases} a^2 = 9 \\ b(a + 1) = -8 \end{cases}

Kako je po uslovu zadatka $a > 0 ,$ iz prve jednačine sledi $a = 3 .$ Zamenom u drugu jednačinu računamo $b .$

b(3 + 1) = -8 \implies 4b = -8 \implies b = -2

Funkcija za prvi slučaj glasi $f(x) = 3x - 2 .$ Odredimo njenu inverznu funkciju $f^{-1}(x)$ izražavanjem $x$ preko $y$ iz jednačine $y = 3x - 2 .$

3x = y + 2 \implies x = \frac{y + 2}{3} \implies f^{-1}(x) = \frac{x + 2}{3}

Rešavamo slučaj 2°. Izjednačavamo opšti izraz sa uslovom $(f \circ f)(x) = \frac{x}{4} - \frac{9}{2} .$

a^2x + b(a + 1) = \frac{1}{4}x - \frac{9}{2}

Izjednačavanjem koeficijenata dobijamo novi sistem jednačina:

\begin{cases} a^2 = \frac{1}{4} \\ b(a + 1) = -\frac{9}{2} \end{cases}

Zbog uslova $a > 0 ,$ iz prve jednačine sledi $a = \frac{1}{2} .$ Zamenom u drugu jednačinu računamo $b .$

b\left(\frac{1}{2} + 1\right) = -\frac{9}{2} \implies \frac{3}{2}b = -\frac{9}{2} \implies 3b = -9 \implies b = -3

Funkcija za drugi slučaj glasi $f(x) = \frac{1}{2}x - 3 .$ Odredimo njenu inverznu funkciju iz jednačine $y = \frac{1}{2}x - 3 .$

\frac{1}{2}x = y + 3 \implies x = 2(y + 3) \implies f^{-1}(x) = 2x + 6

Započni učenje

Online časovi

103.b

Beleške