3278.

103.b

TEKST ZADATKA

Neka je f(x)=ax+b,a>0,f:R→R f(x) = ax + b, a > 0, f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} linearna funkcija i 1° (f∘f)(x)=9x−8 (f \circ f)(x) = 9x - 8 ; 2° (f∘f)(x)=x4−92. (f \circ f)(x) = \frac{x}{4} - \frac{9}{2} . Dokazati da je f f bijekcija i odrediti f−1(x). f^{-1}(x) .

REŠENJE ZADATKA

Funkcija f(x)=ax+b f(x) = ax + b za a>0 a > 0 je strogo rastuća linearna funkcija definisana na celom skupu realnih brojeva. Kao takva, ona je injektivna (1-1) i sirjektivna (na), što znači da je bijekcija i ima inverznu funkciju.

Odredimo opšti izraz za kompoziciju funkcije sa samom sobom, (f∘f)(x). (f \circ f)(x) .

(f∘f)(x)=f(f(x))=a(ax+b)+b(f \circ f)(x) = f(f(x)) = a(ax + b) + b

Sređivanjem izraza dobijamo:

(f∘f)(x)=a2x+ab+b=a2x+b(a+1)(f \circ f)(x) = a^2x + ab + b = a^2x + b(a + 1)

Rešavamo slučaj 1°. Izjednačavamo dobijeni izraz sa datim uslovom (f∘f)(x)=9x−8. (f \circ f)(x) = 9x - 8 .

a2x+b(a+1)=9x−8a^2x + b(a + 1) = 9x - 8

Dva polinoma su jednaka ako su im odgovarajući koeficijenti jednaki. Dobijamo sistem jednačina:

{a2=9b(a+1)=−8\begin{cases} a^2 = 9 \\ b(a + 1) = -8 \end{cases}

Kako je po uslovu zadatka a>0, a > 0 , iz prve jednačine sledi a=3. a = 3 . Zamenom u drugu jednačinu računamo b. b .

b(3+1)=−8  ⟹  4b=−8  ⟹  b=−2b(3 + 1) = -8 \implies 4b = -8 \implies b = -2

Funkcija za prvi slučaj glasi f(x)=3x−2. f(x) = 3x - 2 . Odredimo njenu inverznu funkciju f−1(x) f^{-1}(x) izražavanjem x x preko y y iz jednačine y=3x−2. y = 3x - 2 .

3x=y+2  ⟹  x=y+23  ⟹  f−1(x)=x+233x = y + 2 \implies x = \frac{y + 2}{3} \implies f^{-1}(x) = \frac{x + 2}{3}

Rešavamo slučaj 2°. Izjednačavamo opšti izraz sa uslovom (f∘f)(x)=x4−92. (f \circ f)(x) = \frac{x}{4} - \frac{9}{2} .

a2x+b(a+1)=14x−92a^2x + b(a + 1) = \frac{1}{4}x - \frac{9}{2}

Izjednačavanjem koeficijenata dobijamo novi sistem jednačina:

{a2=14b(a+1)=−92\begin{cases} a^2 = \frac{1}{4} \\ b(a + 1) = -\frac{9}{2} \end{cases}

Zbog uslova a>0, a > 0 , iz prve jednačine sledi a=12. a = \frac{1}{2} . Zamenom u drugu jednačinu računamo b. b .

b(12+1)=−92  ⟹  32b=−92  ⟹  3b=−9  ⟹  b=−3b\left(\frac{1}{2} + 1\right) = -\frac{9}{2} \implies \frac{3}{2}b = -\frac{9}{2} \implies 3b = -9 \implies b = -3

Funkcija za drugi slučaj glasi f(x)=12x−3. f(x) = \frac{1}{2}x - 3 . Odredimo njenu inverznu funkciju iz jednačine y=12x−3. y = \frac{1}{2}x - 3 .

12x=y+3  ⟹  x=2(y+3)  ⟹  f−1(x)=2x+6\frac{1}{2}x = y + 3 \implies x = 2(y + 3) \implies f^{-1}(x) = 2x + 6