3277.

101.v

TEKST ZADATKA

Date su funkcije f,g:R→R f, g : \mathbf{R} \to \mathbf{R} tako da važi f(2x−1)=2x−32 f(2x - 1) = 2x - \frac{3}{2} i g(6x+5)=2x+83. g(6x + 5) = 2x + \frac{8}{3} . Odrediti (f∘g)−1 (f \circ g)^{-1} i g−1∘f−1. g^{-1} \circ f^{-1} . Da li su te dve funkcije jednake?

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo odrediti eksplicitni oblik funkcije f(x). f(x) . Uvodimo smenu t=2x−1, t = 2x - 1 , odakle izražavamo x. x .

2x=t+1  ⟹  x=t+122x = t + 1 \implies x = \frac{t + 1}{2}

Zamenjujemo x x u izraz za f f kako bismo dobili f(t). f(t) .

f(t)=2(t+12)−32=t+1−32=t−12  ⟹  f(x)=x−12f(t) = 2 \left( \frac{t + 1}{2} \right) - \frac{3}{2} = t + 1 - \frac{3}{2} = t - \frac{1}{2} \implies f(x) = x - \frac{1}{2}

Sada određujemo eksplicitni oblik funkcije g(x). g(x) . Uvodimo smenu t=6x+5, t = 6x + 5 , odakle izražavamo x. x .

6x=t−5  ⟹  x=t−566x = t - 5 \implies x = \frac{t - 5}{6}

Zamenjujemo x x u izraz za g g kako bismo dobili g(t). g(t) .

g(t)=2(t−56)+83=t−53+83=t−5+83=t+33  ⟹  g(x)=x+33g(t) = 2 \left( \frac{t - 5}{6} \right) + \frac{8}{3} = \frac{t - 5}{3} + \frac{8}{3} = \frac{t - 5 + 8}{3} = \frac{t + 3}{3} \implies g(x) = \frac{x + 3}{3}

Određujemo inverznu funkciju f−1(x). f^{-1}(x) . Neka je y=f(x). y = f(x) .

y=x−12  ⟹  x=y+12  ⟹  f−1(x)=x+12y = x - \frac{1}{2} \implies x = y + \frac{1}{2} \implies f^{-1}(x) = x + \frac{1}{2}

Određujemo inverznu funkciju g−1(x). g^{-1}(x) . Neka je y=g(x). y = g(x) .

y=x+33  ⟹  3y=x+3  ⟹  x=3y−3  ⟹  g−1(x)=3x−3y = \frac{x + 3}{3} \implies 3y = x + 3 \implies x = 3y - 3 \implies g^{-1}(x) = 3x - 3

Sada računamo kompoziciju funkcija (f∘g)(x). (f \circ g)(x) .

(f∘g)(x)=f(g(x))=f(x+33)=x+33−12=2(x+3)−36=2x+6−36=2x+36(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f\left(\frac{x + 3}{3}\right) = \frac{x + 3}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2(x + 3) - 3}{6} = \frac{2x + 6 - 3}{6} = \frac{2x + 3}{6}

Određujemo inverznu funkciju kompozicije (f∘g)−1(x). (f \circ g)^{-1}(x) . Neka je y=(f∘g)(x). y = (f \circ g)(x) .

y=2x+36  ⟹  6y=2x+3  ⟹  2x=6y−3  ⟹  x=6y−32=3y−32  ⟹  (f∘g)−1(x)=3x−32y = \frac{2x + 3}{6} \implies 6y = 2x + 3 \implies 2x = 6y - 3 \implies x = \frac{6y - 3}{2} = 3y - \frac{3}{2} \implies (f \circ g)^{-1}(x) = 3x - \frac{3}{2}

Zatim računamo kompoziciju inverznih funkcija (g−1∘f−1)(x). (g^{-1} \circ f^{-1})(x) .

(g−1∘f−1)(x)=g−1(f−1(x))=g−1(x+12)=3(x+12)−3=3x+32−3=3x−32(g^{-1} \circ f^{-1})(x) = g^{-1}(f^{-1}(x)) = g^{-1}\left(x + \frac{1}{2}\right) = 3\left(x + \frac{1}{2}\right) - 3 = 3x + \frac{3}{2} - 3 = 3x - \frac{3}{2}

Upoređujemo dobijene rezultate.

(f∘g)−1(x)=3x−32i(g−1∘f−1)(x)=3x−32(f \circ g)^{-1}(x) = 3x - \frac{3}{2} \quad \text{i} \quad (g^{-1} \circ f^{-1})(x) = 3x - \frac{3}{2}

Zaključujemo da su funkcije jednake, što potvrđuje opšte pravilo za inverznu funkciju kompozicije.

(f∘g)−1=g−1∘f−1(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}