3277. Funkcije | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Date su funkcije $f, g : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ tako da važi $f(2x - 1) = 2x - \frac{3}{2}$ i $g(6x + 5) = 2x + \frac{8}{3} .$ Odrediti $(f \circ g)^{-1}$ i $g^{-1} \circ f^{-1} .$ Da li su te dve funkcije jednake?

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo odrediti eksplicitni oblik funkcije $f(x) .$ Uvodimo smenu $t = 2x - 1 ,$ odakle izražavamo $x .$

2x = t + 1 \implies x = \frac{t + 1}{2}

Zamenjujemo $x$ u izraz za $f$ kako bismo dobili $f(t) .$

f(t) = 2 \left( \frac{t + 1}{2} \right) - \frac{3}{2} = t + 1 - \frac{3}{2} = t - \frac{1}{2} \implies f(x) = x - \frac{1}{2}

Sada određujemo eksplicitni oblik funkcije $g(x) .$ Uvodimo smenu $t = 6x + 5 ,$ odakle izražavamo $x .$

6x = t - 5 \implies x = \frac{t - 5}{6}

Zamenjujemo $x$ u izraz za $g$ kako bismo dobili $g(t) .$

g(t) = 2 \left( \frac{t - 5}{6} \right) + \frac{8}{3} = \frac{t - 5}{3} + \frac{8}{3} = \frac{t - 5 + 8}{3} = \frac{t + 3}{3} \implies g(x) = \frac{x + 3}{3}

Određujemo inverznu funkciju $f^{-1}(x) .$ Neka je $y = f(x) .$

y = x - \frac{1}{2} \implies x = y + \frac{1}{2} \implies f^{-1}(x) = x + \frac{1}{2}

Određujemo inverznu funkciju $g^{-1}(x) .$ Neka je $y = g(x) .$

y = \frac{x + 3}{3} \implies 3y = x + 3 \implies x = 3y - 3 \implies g^{-1}(x) = 3x - 3

Sada računamo kompoziciju funkcija $(f \circ g)(x) .$

(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f\left(\frac{x + 3}{3}\right) = \frac{x + 3}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2(x + 3) - 3}{6} = \frac{2x + 6 - 3}{6} = \frac{2x + 3}{6}

Određujemo inverznu funkciju kompozicije $(f \circ g)^{-1}(x) .$ Neka je $y = (f \circ g)(x) .$

y = \frac{2x + 3}{6} \implies 6y = 2x + 3 \implies 2x = 6y - 3 \implies x = \frac{6y - 3}{2} = 3y - \frac{3}{2} \implies (f \circ g)^{-1}(x) = 3x - \frac{3}{2}

Zatim računamo kompoziciju inverznih funkcija $(g^{-1} \circ f^{-1})(x) .$

(g^{-1} \circ f^{-1})(x) = g^{-1}(f^{-1}(x)) = g^{-1}\left(x + \frac{1}{2}\right) = 3\left(x + \frac{1}{2}\right) - 3 = 3x + \frac{3}{2} - 3 = 3x - \frac{3}{2}

Upoređujemo dobijene rezultate.

(f \circ g)^{-1}(x) = 3x - \frac{3}{2} \quad \text{i} \quad (g^{-1} \circ f^{-1})(x) = 3x - \frac{3}{2}

Zaključujemo da su funkcije jednake, što potvrđuje opšte pravilo za inverznu funkciju kompozicije.

(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}

101.v