3276. Funkcije | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Za funkciju $g$ dokazati da je bijekcija i odrediti $g^{-1} .$

g(x) = \frac{2x+1}{x-1}, \quad x \neq 1

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali da je funkcija bijekcija, moramo pokazati da je injektivna (1-1) i sirjektivna (na).

Prvo dokazujemo injektivnost. Pretpostavljamo da je $g(x_1) = g(x_2)$ i pokazujemo da iz toga sledi $x_1 = x_2 .$

\frac{2x_1+1}{x_1-1} = \frac{2x_2+1}{x_2-1}

Množimo unakrsno kako bismo se oslobodili razlomaka.

(2x_1+1)(x_2-1) = (2x_2+1)(x_1-1)

Množimo zagrade na obe strane jednakosti.

2x_1x_2 - 2x_1 + x_2 - 1 = 2x_2x_1 - 2x_2 + x_1 - 1

Skraćujemo iste članove sa obe strane ( $2x_1x_2$ i $-1$ ).

-2x_1 + x_2 = -2x_2 + x_1

Grupišemo članove sa $x_1$ na jednu stranu, a sa $x_2$ na drugu.

3x_2 = 3x_1 \implies x_1 = x_2

Pošto iz $g(x_1) = g(x_2)$ sledi $x_1 = x_2 ,$ funkcija je injektivna. Sada dokazujemo sirjektivnost. Rešavamo jednačinu $y = g(x)$ po $x .$

y = \frac{2x+1}{x-1}

Množimo obe strane sa imeniocem $x-1 .$

y(x-1) = 2x+1

Oslobađamo se zagrade na levoj strani.

yx - y = 2x + 1

Grupišemo sve članove koji sadrže $x$ na levu stranu, a ostale na desnu.

yx - 2x = y + 1

Izvlačimo $x$ kao zajednički činilac.

x(y - 2) = y + 1

Delimo sa $y-2$ kako bismo izrazili $x .$ Ovo je definisano za svako $y \neq 2 ,$ što znači da za svako $y$ iz kodomena postoji original $x .$

x = \frac{y+1}{y-2}

Kako je funkcija i injektivna i sirjektivna, ona je bijekcija. Inverznu funkciju dobijamo zamenom promenljivih $x$ i $y$ u dobijenom izrazu.

g^{-1}(x) = \frac{x+1}{x-2}

102.b