3276.

102.b

TEKST ZADATKA

Za funkciju g g dokazati da je bijekcija i odrediti g−1. g^{-1} .

g(x)=2x+1x−1,x≠1g(x) = \frac{2x+1}{x-1}, \quad x \neq 1
REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali da je funkcija bijekcija, moramo pokazati da je injektivna (1-1) i sirjektivna (na).

Prvo dokazujemo injektivnost. Pretpostavljamo da je g(x1)=g(x2) g(x_1) = g(x_2) i pokazujemo da iz toga sledi x1=x2. x_1 = x_2 .

2x1+1x1−1=2x2+1x2−1\frac{2x_1+1}{x_1-1} = \frac{2x_2+1}{x_2-1}

Množimo unakrsno kako bismo se oslobodili razlomaka.

(2x1+1)(x2−1)=(2x2+1)(x1−1)(2x_1+1)(x_2-1) = (2x_2+1)(x_1-1)

Množimo zagrade na obe strane jednakosti.

2x1x2−2x1+x2−1=2x2x1−2x2+x1−12x_1x_2 - 2x_1 + x_2 - 1 = 2x_2x_1 - 2x_2 + x_1 - 1

Skraćujemo iste članove sa obe strane (2x1x2 2x_1x_2 i −1 -1 ).

−2x1+x2=−2x2+x1-2x_1 + x_2 = -2x_2 + x_1

Grupišemo članove sa x1 x_1 na jednu stranu, a sa x2 x_2 na drugu.

3x2=3x1  ⟹  x1=x23x_2 = 3x_1 \implies x_1 = x_2

Pošto iz g(x1)=g(x2) g(x_1) = g(x_2) sledi x1=x2, x_1 = x_2 , funkcija je injektivna. Sada dokazujemo sirjektivnost. Rešavamo jednačinu y=g(x) y = g(x) po x. x .

y=2x+1x−1y = \frac{2x+1}{x-1}

Množimo obe strane sa imeniocem x−1. x-1 .

y(x−1)=2x+1y(x-1) = 2x+1

Oslobađamo se zagrade na levoj strani.

yx−y=2x+1yx - y = 2x + 1

Grupišemo sve članove koji sadrže x x na levu stranu, a ostale na desnu.

yx−2x=y+1yx - 2x = y + 1

Izvlačimo x x kao zajednički činilac.

x(y−2)=y+1x(y - 2) = y + 1

Delimo sa y−2 y-2 kako bismo izrazili x. x . Ovo je definisano za svako y≠2, y \neq 2 , što znači da za svako y y iz kodomena postoji original x. x .

x=y+1y−2x = \frac{y+1}{y-2}

Kako je funkcija i injektivna i sirjektivna, ona je bijekcija. Inverznu funkciju dobijamo zamenom promenljivih x x i y y u dobijenom izrazu.

g−1(x)=x+1x−2g^{-1}(x) = \frac{x+1}{x-2}