3260.

95.g

TEKST ZADATKA

Date su funkcije f(x)=2−3x f(x) = 2 - 3x i g(x)=3x−1. g(x) = 3x - 1 . Izračunati: g) f−1∘g−1. f^{-1} \circ g^{-1} .

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo inverznu funkciju funkcije f(x). f(x) . Zapisujemo f(x)=y f(x) = y i izražavamo x x preko y. y .

y=2−3x  ⟹  3x=2−y  ⟹  x=2−y3y = 2 - 3x \implies 3x = 2 - y \implies x = \frac{2 - y}{3}

Zamenom promenljivih (umesto y y pišemo x x ) dobijamo inverznu funkciju f−1(x). f^{-1}(x) .

f−1(x)=2−x3f^{-1}(x) = \frac{2 - x}{3}

Zatim određujemo inverznu funkciju funkcije g(x). g(x) . Zapisujemo g(x)=y g(x) = y i izražavamo x x preko y. y .

y=3x−1  ⟹  3x=y+1  ⟹  x=y+13y = 3x - 1 \implies 3x = y + 1 \implies x = \frac{y + 1}{3}

Zamenom promenljivih dobijamo inverznu funkciju g−1(x). g^{-1}(x) .

g−1(x)=x+13g^{-1}(x) = \frac{x + 1}{3}

Sada računamo kompoziciju inverznih funkcija (f−1∘g−1)(x), (f^{-1} \circ g^{-1})(x) , što znači da funkciju g−1(x) g^{-1}(x) ubacujemo kao argument u funkciju f−1(x). f^{-1}(x) .

(f−1∘g−1)(x)=f−1(g−1(x))(f^{-1} \circ g^{-1})(x) = f^{-1}(g^{-1}(x))

Zamenjujemo izraz za g−1(x) g^{-1}(x) u f−1(x). f^{-1}(x) .

f−1(x+13)=2−x+133f^{-1}\left(\frac{x + 1}{3}\right) = \frac{2 - \frac{x + 1}{3}}{3}

Sređujemo dobijeni izraz. Prvo svodimo brojilac na zajednički imenilac.

2−x+133=6−(x+1)33=5−x33\frac{2 - \frac{x + 1}{3}}{3} = \frac{\frac{6 - (x + 1)}{3}}{3} = \frac{\frac{5 - x}{3}}{3}

Rešavamo dvojni razlomak kako bismo dobili konačan rezultat.

(f−1∘g−1)(x)=5−x9(f^{-1} \circ g^{-1})(x) = \frac{5 - x}{9}