3259.

99.b

TEKST ZADATKA

Date su funkcije f(x)=6x−7 f(x) = 6x - 7 i g(x)=x3+2. g(x) = \frac{x}{3} + 2 .

Dokazati da je funkcija f∘g f \circ g bijekcija i odrediti (f∘g)−1. (f \circ g)^{-1} .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo odrediti kompoziciju funkcija f∘g. f \circ g .

(f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x))

Zamenjujemo izraz za g(x) g(x) u funkciju f. f .

f(g(x))=f(x3+2)f(g(x)) = f\left(\frac{x}{3} + 2\right)

Primenjujemo pravilo funkcije f(x)=6x−7. f(x) = 6x - 7 .

f(x3+2)=6(x3+2)−7f\left(\frac{x}{3} + 2\right) = 6\left(\frac{x}{3} + 2\right) - 7

Sređujemo dobijeni izraz.

6(x3+2)−7=2x+12−7=2x+56\left(\frac{x}{3} + 2\right) - 7 = 2x + 12 - 7 = 2x + 5

Dakle, kompozicija funkcija je:

(f∘g)(x)=2x+5(f \circ g)(x) = 2x + 5

Da bismo dokazali da je funkcija bijekcija, pokazujemo da je injektivna ("1-1") i sirjektivna ("na"). Neka su x1,x2∈R x_1, x_2 \in \mathbb{R} takvi da je (f∘g)(x1)=(f∘g)(x2). (f \circ g)(x_1) = (f \circ g)(x_2) .

2x1+5=2x2+52x_1 + 5 = 2x_2 + 5

Oduzimanjem broja 5 i deljenjem sa 2 dobijamo x1=x2, x_1 = x_2 , što znači da je funkcija injektivna.

x1=x2x_1 = x_2

Za svako y∈R y \in \mathbb{R} postoji x∈R x \in \mathbb{R} takvo da je y=2x+5, y = 2x + 5 , jer možemo izabrati x=y−52. x = \frac{y - 5}{2} . Time je funkcija sirjektivna. Pošto je injektivna i sirjektivna, funkcija je bijekcija.

Sada tražimo inverznu funkciju. Označimo (f∘g)(x) (f \circ g)(x) sa y. y .

y=2x+5y = 2x + 5

Izražavamo x x preko y. y .

2x=y−52x = y - 5

Delimo jednačinu sa 2.

x=y−52x = \frac{y - 5}{2}

Zamenjujemo promenljive x x i y y da bismo dobili inverznu funkciju.

(f∘g)−1(x)=x−52(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{x - 5}{2}