3257.

101.b

TEKST ZADATKA

Date su funkcije f,g:R→R f, g : \mathbf{R} \to \mathbf{R} tako da važi f(2x−1)=2x−32 f(2x - 1) = 2x - \frac{3}{2} i g(6x+5)=2x+83. g(6x + 5) = 2x + \frac{8}{3} . b) Dokazati da su f f i g g bijekcije i odrediti f−1(x) f^{-1}(x) i g−1(x). g^{-1}(x) .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo odrediti eksplicitni oblik funkcije f(x). f(x) . Uvodimo smenu t=2x−1. t = 2x - 1 .

t=2x−1  ⟹  2x=t+1  ⟹  x=t+12t = 2x - 1 \implies 2x = t + 1 \implies x = \frac{t + 1}{2}

Zamenjujemo x x u izraz za f. f .

f(t)=2⋅t+12−32=t+1−32=t−12f(t) = 2 \cdot \frac{t + 1}{2} - \frac{3}{2} = t + 1 - \frac{3}{2} = t - \frac{1}{2}

Eksplicitni oblik funkcije f f je:

f(x)=x−12f(x) = x - \frac{1}{2}

Da bismo dokazali da je f f bijekcija, moramo pokazati da je injektivna (1-1) i sirjektivna (NA). Proveravamo injektivnost:

f(x1)=f(x2)  ⟹  x1−12=x2−12  ⟹  x1=x2f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 - \frac{1}{2} = x_2 - \frac{1}{2} \implies x_1 = x_2

Proveravamo sirjektivnost. Za svako y∈R y \in \mathbf{R} tražimo x∈R x \in \mathbf{R} takvo da je f(x)=y. f(x) = y .

y=x−12  ⟹  x=y+12y = x - \frac{1}{2} \implies x = y + \frac{1}{2}

Pošto za svako y y postoji jedinstveno x, x , funkcija je sirjektivna. Kako je i injektivna i sirjektivna, funkcija f f je bijekcija. Njena inverzna funkcija je:

f−1(x)=x+12f^{-1}(x) = x + \frac{1}{2}

Sada određujemo eksplicitni oblik funkcije g(x). g(x) . Uvodimo smenu t=6x+5. t = 6x + 5 .

t=6x+5  ⟹  6x=t−5  ⟹  2x=t−53t = 6x + 5 \implies 6x = t - 5 \implies 2x = \frac{t - 5}{3}

Zamenjujemo 2x 2x u izraz za g. g .

g(t)=t−53+83=t−5+83=t+33=13t+1g(t) = \frac{t - 5}{3} + \frac{8}{3} = \frac{t - 5 + 8}{3} = \frac{t + 3}{3} = \frac{1}{3}t + 1

Eksplicitni oblik funkcije g g je:

g(x)=13x+1g(x) = \frac{1}{3}x + 1

Proveravamo injektivnost funkcije g: g :

g(x1)=g(x2)  ⟹  13x1+1=13x2+1  ⟹  13x1=13x2  ⟹  x1=x2g(x_1) = g(x_2) \implies \frac{1}{3}x_1 + 1 = \frac{1}{3}x_2 + 1 \implies \frac{1}{3}x_1 = \frac{1}{3}x_2 \implies x_1 = x_2

Proveravamo sirjektivnost funkcije g. g . Za svako y∈R y \in \mathbf{R} tražimo x∈R x \in \mathbf{R} takvo da je g(x)=y. g(x) = y .

y=13x+1  ⟹  13x=y−1  ⟹  x=3(y−1)=3y−3y = \frac{1}{3}x + 1 \implies \frac{1}{3}x = y - 1 \implies x = 3(y - 1) = 3y - 3

Pošto za svako y y postoji jedinstveno x, x , funkcija je sirjektivna. Kako je i injektivna i sirjektivna, funkcija g g je bijekcija. Njena inverzna funkcija je:

g−1(x)=3x−3g^{-1}(x) = 3x - 3