Kompozicija funkcija zadatih posredno preko f i g

Prvo ćemo odrediti eksplicitni oblik funkcije $f(x) .$ Uvodimo smenu $t = 2x - 1 .$

t = 2x - 1 \implies 2x = t + 1 \implies x = \frac{t + 1}{2}

Zamenjujemo $x$ u izraz za $f .$

f(t) = 2 \cdot \frac{t + 1}{2} - \frac{3}{2} = t + 1 - \frac{3}{2} = t - \frac{1}{2}

Eksplicitni oblik funkcije $f$ je:

f(x) = x - \frac{1}{2}

Da bismo dokazali da je $f$ bijekcija, moramo pokazati da je injektivna (1-1) i sirjektivna (NA). Proveravamo injektivnost:

f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 - \frac{1}{2} = x_2 - \frac{1}{2} \implies x_1 = x_2

Proveravamo sirjektivnost. Za svako $y \in \mathbf{R}$ tražimo $x \in \mathbf{R}$ takvo da je $f(x) = y .$

y = x - \frac{1}{2} \implies x = y + \frac{1}{2}

Pošto za svako $y$ postoji jedinstveno $x ,$ funkcija je sirjektivna. Kako je i injektivna i sirjektivna, funkcija $f$ je bijekcija. Njena inverzna funkcija je:

f^{-1}(x) = x + \frac{1}{2}

Sada određujemo eksplicitni oblik funkcije $g(x) .$ Uvodimo smenu $t = 6x + 5 .$

t = 6x + 5 \implies 6x = t - 5 \implies 2x = \frac{t - 5}{3}

Zamenjujemo $2x$ u izraz za $g .$

g(t) = \frac{t - 5}{3} + \frac{8}{3} = \frac{t - 5 + 8}{3} = \frac{t + 3}{3} = \frac{1}{3}t + 1

Eksplicitni oblik funkcije $g$ je:

g(x) = \frac{1}{3}x + 1

Proveravamo injektivnost funkcije $g :$

g(x_1) = g(x_2) \implies \frac{1}{3}x_1 + 1 = \frac{1}{3}x_2 + 1 \implies \frac{1}{3}x_1 = \frac{1}{3}x_2 \implies x_1 = x_2

Proveravamo sirjektivnost funkcije $g .$ Za svako $y \in \mathbf{R}$ tražimo $x \in \mathbf{R}$ takvo da je $g(x) = y .$

y = \frac{1}{3}x + 1 \implies \frac{1}{3}x = y - 1 \implies x = 3(y - 1) = 3y - 3

Pošto za svako $y$ postoji jedinstveno $x ,$ funkcija je sirjektivna. Kako je i injektivna i sirjektivna, funkcija $g$ je bijekcija. Njena inverzna funkcija je:

g^{-1}(x) = 3x - 3

Započni učenje

Online časovi

101.b

Beleške