3256. Funkcije | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Neka je $f(3x - 1) = 6x - 8 ,$ $f : \mathbf{R} \to \mathbf{R} .$ a) Odrediti $f(5) .$ b) Naći $f(x) .$ v) Dokazati da je $f$ bijekcija i odrediti njenu inverznu funkciju. g) Nacrtati grafike funkcija $y = f(x)$ i $y = f^{-1}(x) .$

REŠENJE ZADATKA

Rešavamo deo pod a). Da bismo odredili $f(5) ,$ izjednačavamo argument funkcije sa 5:

3x - 1 = 5

Rešavamo jednačinu po $x :$

3x = 6 \implies x = 2

Zamenjujemo $x = 2$ u izraz na desnoj strani jednakosti da bismo dobili $f(5) :$

f(5) = 6 \cdot 2 - 8 = 12 - 8 = 4

Rešavamo deo pod b). Da bismo našli $f(x) ,$ uvodimo smenu za argument funkcije:

t = 3x - 1

Izražavamo $x$ preko $t :$

3x = t + 1 \implies x = \frac{t + 1}{3}

Zamenjujemo $x$ u početnu jednačinu:

f(t) = 6 \cdot \frac{t + 1}{3} - 8

Sređujemo dobijeni izraz:

f(t) = 2(t + 1) - 8 = 2t + 2 - 8 = 2t - 6

Vraćamo promenljivu $x$ umesto $t :$

f(x) = 2x - 6

Rešavamo deo pod v). Funkcija je bijekcija ako je injektivna ("1-1") i sirjektivna ("na"). Prvo dokazujemo injektivnost. Pretpostavimo da za neke $x_1, x_2 \in \mathbf{R}$ važi $f(x_1) = f(x_2) :$

2x_1 - 6 = 2x_2 - 6

Dodavanjem 6 obema stranama i deljenjem sa 2 dobijamo:

2x_1 = 2x_2 \implies x_1 = x_2

Pošto iz $f(x_1) = f(x_2)$ sledi $x_1 = x_2 ,$ funkcija je injektivna. Zatim dokazujemo sirjektivnost. Za svako $y \in \mathbf{R}$ tražimo $x \in \mathbf{R}$ takvo da je $f(x) = y :$

2x - 6 = y

Izražavamo $x$ u zavisnosti od $y :$

2x = y + 6 \implies x = \frac{y + 6}{2}

Za svako realno $y ,$ vrednost $x = \frac{y + 6}{2}$ je takođe realan broj, pa je funkcija sirjektivna. Pošto je injektivna i sirjektivna, funkcija je bijekcija.

\text{Funkcija } f \text{ je bijekcija.}

Da bismo odredili inverznu funkciju $f^{-1}(x) ,$ koristimo izraz dobijen pri dokazivanju sirjektivnosti i menjamo mesta promenljivama $x$ i $y :$

y = \frac{x + 6}{2}

Zapisujemo inverznu funkciju u konačnom obliku:

f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x + 3

Rešavamo deo pod g). Za crtanje grafika funkcije $y = f(x) = 2x - 6 ,$ nalazimo preseke sa koordinatnim osama. Za $x = 0$ je $y = -6 ,$ a za $y = 0$ je $x = 3 .$

A(0, -6), \quad B(3, 0)

Za crtanje grafika inverzne funkcije $y = f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x + 3 ,$ takođe nalazimo preseke sa osama. Za $x = 0$ je $y = 3 ,$ a za $y = 0$ je $x = -6 .$

C(0, 3), \quad D(-6, 0)

Grafici funkcija $f(x)$ i $f^{-1}(x)$ su prave linije koje prolaze kroz navedene tačke i simetrične su u odnosu na pravu $y = x .$

y = x

100.g