3256.

100.g

TEKST ZADATKA

Neka je f(3x−1)=6x−8, f(3x - 1) = 6x - 8 , f:R→R. f : \mathbf{R} \to \mathbf{R} . a) Odrediti f(5). f(5) . b) Naći f(x). f(x) . v) Dokazati da je f f bijekcija i odrediti njenu inverznu funkciju. g) Nacrtati grafike funkcija y=f(x) y = f(x) i y=f−1(x). y = f^{-1}(x) .

REŠENJE ZADATKA

Rešavamo deo pod a). Da bismo odredili f(5), f(5) , izjednačavamo argument funkcije sa 5:

3x−1=53x - 1 = 5

Rešavamo jednačinu po x: x :

3x=6  ⟹  x=23x = 6 \implies x = 2

Zamenjujemo x=2 x = 2 u izraz na desnoj strani jednakosti da bismo dobili f(5): f(5) :

f(5)=6⋅2−8=12−8=4f(5) = 6 \cdot 2 - 8 = 12 - 8 = 4

Rešavamo deo pod b). Da bismo našli f(x), f(x) , uvodimo smenu za argument funkcije:

t=3x−1t = 3x - 1

Izražavamo x x preko t: t :

3x=t+1  ⟹  x=t+133x = t + 1 \implies x = \frac{t + 1}{3}

Zamenjujemo x x u početnu jednačinu:

f(t)=6⋅t+13−8f(t) = 6 \cdot \frac{t + 1}{3} - 8

Sređujemo dobijeni izraz:

f(t)=2(t+1)−8=2t+2−8=2t−6f(t) = 2(t + 1) - 8 = 2t + 2 - 8 = 2t - 6

Vraćamo promenljivu x x umesto t: t :

f(x)=2x−6f(x) = 2x - 6

Rešavamo deo pod v). Funkcija je bijekcija ako je injektivna ("1-1") i sirjektivna ("na"). Prvo dokazujemo injektivnost. Pretpostavimo da za neke x1,x2∈R x_1, x_2 \in \mathbf{R} važi f(x1)=f(x2): f(x_1) = f(x_2) :

2x1−6=2x2−62x_1 - 6 = 2x_2 - 6

Dodavanjem 6 obema stranama i deljenjem sa 2 dobijamo:

2x1=2x2  ⟹  x1=x22x_1 = 2x_2 \implies x_1 = x_2

Pošto iz f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) sledi x1=x2, x_1 = x_2 , funkcija je injektivna. Zatim dokazujemo sirjektivnost. Za svako y∈R y \in \mathbf{R} tražimo x∈R x \in \mathbf{R} takvo da je f(x)=y: f(x) = y :

2x−6=y2x - 6 = y

Izražavamo x x u zavisnosti od y: y :

2x=y+6  ⟹  x=y+622x = y + 6 \implies x = \frac{y + 6}{2}

Za svako realno y, y , vrednost x=y+62 x = \frac{y + 6}{2} je takođe realan broj, pa je funkcija sirjektivna. Pošto je injektivna i sirjektivna, funkcija je bijekcija.

Funkcija f je bijekcija.\text{Funkcija } f \text{ je bijekcija.}

Da bismo odredili inverznu funkciju f−1(x), f^{-1}(x) , koristimo izraz dobijen pri dokazivanju sirjektivnosti i menjamo mesta promenljivama x x i y: y :

y=x+62y = \frac{x + 6}{2}

Zapisujemo inverznu funkciju u konačnom obliku:

f−1(x)=12x+3f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x + 3

Rešavamo deo pod g). Za crtanje grafika funkcije y=f(x)=2x−6, y = f(x) = 2x - 6 , nalazimo preseke sa koordinatnim osama. Za x=0 x = 0 je y=−6, y = -6 , a za y=0 y = 0 je x=3. x = 3 .

A(0,−6),B(3,0)A(0, -6), \quad B(3, 0)

Za crtanje grafika inverzne funkcije y=f−1(x)=12x+3, y = f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x + 3 , takođe nalazimo preseke sa osama. Za x=0 x = 0 je y=3, y = 3 , a za y=0 y = 0 je x=−6. x = -6 .

C(0,3),D(−6,0)C(0, 3), \quad D(-6, 0)

Grafici funkcija f(x) f(x) i f−1(x) f^{-1}(x) su prave linije koje prolaze kroz navedene tačke i simetrične su u odnosu na pravu y=x. y = x .

y=xy = x