3255.

100.v

TEKST ZADATKA

Neka je f(3x−1)=6x−8, f(3x - 1) = 6x - 8 , f:R→R. f : \mathbf{R} \to \mathbf{R} . a) Odrediti f(5). f(5) . b) Naći f(x). f(x) . v) Dokazati da je f f bijekcija i odrediti njenu inverznu funkciju. g) Nacrtati grafike funkcija y=f(x) y = f(x) i y=f−1(x). y = f^{-1}(x) .

REŠENJE ZADATKA

Rešavamo deo pod a). Da bismo odredili vrednost funkcije za x=5, x = 5 , izjednačavamo argument funkcije sa 5:

3x−1=53x - 1 = 5

Rešavamo jednačinu po x: x :

3x=6  ⟹  x=23x = 6 \implies x = 2

Zamenjujemo dobijenu vrednost x=2 x = 2 u izraz za funkciju:

f(5)=6⋅2−8=12−8=4f(5) = 6 \cdot 2 - 8 = 12 - 8 = 4

Rešavamo deo pod b). Uvodimo smenu kako bismo odredili analitički oblik funkcije f(x): f(x) :

t=3x−1t = 3x - 1

Izražavamo x x preko t: t :

3x=t+1  ⟹  x=t+133x = t + 1 \implies x = \frac{t + 1}{3}

Zamenjujemo x x u početnu jednačinu funkcije:

f(t)=6⋅t+13−8f(t) = 6 \cdot \frac{t + 1}{3} - 8

Sređujemo izraz:

f(t)=2(t+1)−8=2t+2−8=2t−6f(t) = 2(t + 1) - 8 = 2t + 2 - 8 = 2t - 6

Vraćamo promenljivu x x umesto t: t :

f(x)=2x−6f(x) = 2x - 6

Rešavamo deo pod v). Prvo dokazujemo da je funkcija injektivna (1-1). Pretpostavljamo da je f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) i pokazujemo da mora biti x1=x2: x_1 = x_2 :

2x1−6=2x2−6  ⟹  2x1=2x2  ⟹  x1=x22x_1 - 6 = 2x_2 - 6 \implies 2x_1 = 2x_2 \implies x_1 = x_2

Zatim dokazujemo da je funkcija sirjektivna (NA). Za svako y∈R y \in \mathbf{R} tražimo x∈R x \in \mathbf{R} takvo da je f(x)=y: f(x) = y :

2x−6=y  ⟹  2x=y+6  ⟹  x=y+622x - 6 = y \implies 2x = y + 6 \implies x = \frac{y + 6}{2}

Pošto za svako realno y y postoji realno x, x , funkcija je sirjektivna. Kako je i injektivna i sirjektivna, funkcija je bijekcija. Sada tražimo inverznu funkciju zamenom mesta promenljivama x x i y: y :

x=2y−6x = 2y - 6

Izražavamo y y da bismo dobili inverznu funkciju f−1(x): f^{-1}(x) :

2y=x+6  ⟹  y=x+62=12x+32y = x + 6 \implies y = \frac{x + 6}{2} = \frac{1}{2}x + 3

Zapisujemo konačan oblik inverzne funkcije:

f−1(x)=12x+3f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x + 3

Rešavamo deo pod g). Grafici funkcija f(x)=2x−6 f(x) = 2x - 6 i f−1(x)=12x+3 f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x + 3 su prave linije. Za crtanje prve prave možemo koristiti tačke preseka sa osama:

A(0,−6),B(3,0)A(0, -6), \quad B(3, 0)

Za crtanje druge prave (inverzne funkcije) takođe nalazimo preseke sa osama. Primetimo da su koordinate tačaka zamenjene u odnosu na originalnu funkciju, jer su grafici simetrični u odnosu na pravu y=x: y = x :

A′(−6,0),B′(0,3)A'(-6, 0), \quad B'(0, 3)

Tačka preseka ova dva grafika nalazi se na pravoj y=x. y = x . Izjednačavanjem dobijamo:

2x−6=x  ⟹  x=6  ⟹  y=62x - 6 = x \implies x = 6 \implies y = 6

Spajanjem odgovarajućih tačaka u koordinatnom sistemu dobijamo tražene grafike koji se seku u tački (6,6). (6, 6) .