100.v

Rešavamo deo pod a). Da bismo odredili vrednost funkcije za $x = 5 ,$ izjednačavamo argument funkcije sa 5:

Rešavamo jednačinu po $x :$

Zamenjujemo dobijenu vrednost $x = 2$ u izraz za funkciju:

Rešavamo deo pod b). Uvodimo smenu kako bismo odredili analitički oblik funkcije $f(x) :$

Izražavamo $x$ preko $t :$

Zamenjujemo $x$ u početnu jednačinu funkcije:

Sređujemo izraz:

Vraćamo promenljivu $x$ umesto $t :$

Rešavamo deo pod v). Prvo dokazujemo da je funkcija injektivna (1-1). Pretpostavljamo da je $f(x_1) = f(x_2)$ i pokazujemo da mora biti $x_1 = x_2 :$

Zatim dokazujemo da je funkcija sirjektivna (NA). Za svako $y \in \mathbf{R}$ tražimo $x \in \mathbf{R}$ takvo da je $f(x) = y :$

Pošto za svako realno $y$ postoji realno $x ,$ funkcija je sirjektivna. Kako je i injektivna i sirjektivna, funkcija je bijekcija. Sada tražimo inverznu funkciju zamenom mesta promenljivama $x$ i $y :$

Izražavamo $y$ da bismo dobili inverznu funkciju $f^{-1}(x) :$

Zapisujemo konačan oblik inverzne funkcije:

Rešavamo deo pod g). Grafici funkcija $f(x) = 2x - 6$ i $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x + 3$ su prave linije. Za crtanje prve prave možemo koristiti tačke preseka sa osama:

Za crtanje druge prave (inverzne funkcije) takođe nalazimo preseke sa osama. Primetimo da su koordinate tačaka zamenjene u odnosu na originalnu funkciju, jer su grafici simetrični u odnosu na pravu $y = x :$

Tačka preseka ova dva grafika nalazi se na pravoj $y = x .$ Izjednačavanjem dobijamo: