3254.

100.b

TEKST ZADATKA

Neka je f(3x−1)=6x−8, f(3x - 1) = 6x - 8 , f:R→R. f : \mathbf{R} \to \mathbf{R} . a) Odrediti f(5). f(5) . b) Naći f(x). f(x) . v) Dokazati da je f f bijekcija i odrediti njenu inverznu funkciju. g) Nacrtati grafike funkcija y=f(x) y = f(x) i y=f−1(x). y = f^{-1}(x) .

REŠENJE ZADATKA

a) Da bismo odredili f(5), f(5) , izjednačavamo argument funkcije sa 5 kako bismo našli odgovarajuću vrednost za x. x .

3x−1=5  ⟹  3x=6  ⟹  x=23x - 1 = 5 \implies 3x = 6 \implies x = 2

Zamenjujemo dobijenu vrednost x=2 x = 2 u izraz na desnoj strani jednakosti.

f(5)=6⋅2−8=12−8=4f(5) = 6 \cdot 2 - 8 = 12 - 8 = 4

b) Da bismo našli eksplicitan oblik funkcije f(x), f(x) , uvodimo smenu t=3x−1 t = 3x - 1 i izražavamo x x preko t. t .

3x−1=t  ⟹  3x=t+1  ⟹  x=t+133x - 1 = t \implies 3x = t + 1 \implies x = \frac{t + 1}{3}

Zamenjujemo izraz za x x u početnu jednačinu.

f(t)=6⋅t+13−8=2(t+1)−8=2t+2−8=2t−6f(t) = 6 \cdot \frac{t + 1}{3} - 8 = 2(t + 1) - 8 = 2t + 2 - 8 = 2t - 6

Zapisujemo funkciju koristeći promenljivu x x umesto t. t .

f(x)=2x−6f(x) = 2x - 6

v) Dokazujemo da je funkcija injektivna (1-1). Pretpostavljamo da je f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) i pokazujemo da iz toga sledi x1=x2. x_1 = x_2 .

2x1−6=2x2−6  ⟹  2x1=2x2  ⟹  x1=x22x_1 - 6 = 2x_2 - 6 \implies 2x_1 = 2x_2 \implies x_1 = x_2

Dokazujemo da je funkcija sirjektivna (NA). Za svako y∈R y \in \mathbf{R} tražimo x∈R x \in \mathbf{R} takvo da važi f(x)=y. f(x) = y .

2x−6=y  ⟹  2x=y+6  ⟹  x=y+622x - 6 = y \implies 2x = y + 6 \implies x = \frac{y + 6}{2}

Pošto za svako realno y y postoji realno x, x , funkcija je sirjektivna. Kako je istovremeno injektivna i sirjektivna, funkcija je bijekcija, što znači da ima inverznu funkciju.

Računamo inverznu funkciju zamenom mesta promenljivama x x i y y u prethodno dobijenom izrazu za x. x .

f−1(x)=x+62=12x+3f^{-1}(x) = \frac{x + 6}{2} = \frac{1}{2}x + 3

g) Za crtanje grafika linearne funkcije y=2x−6, y = 2x - 6 , nalazimo preseke sa koordinatnim osama. Za x=0 x = 0 je y=−6, y = -6 , a za y=0 y = 0 je x=3. x = 3 .

A(0,−6),B(3,0)A(0, -6), \quad B(3, 0)

Za crtanje grafika inverzne funkcije y=12x+3, y = \frac{1}{2}x + 3 , takođe nalazimo preseke sa osama. Za x=0 x = 0 je y=3, y = 3 , a za y=0 y = 0 je x=−6. x = -6 . Ovi grafici predstavljaju prave linije koje su simetrične u odnosu na pravu y=x. y = x .

C(0,3),D(−6,0)C(0, 3), \quad D(-6, 0)