3253.

100.a

TEKST ZADATKA

Neka je f(3x−1)=6x−8, f(3x - 1) = 6x - 8 , f:R→R. f : \mathbf{R} \to \mathbf{R} . a) Odrediti f(5). f(5) . b) Naći f(x). f(x) . v) Dokazati da je f f bijekcija i odrediti njenu inverznu funkciju. g) Nacrtati grafike funkcija y=f(x) y = f(x) i y=f−1(x). y = f^{-1}(x) .

REŠENJE ZADATKA

Rešavamo deo pod a). Da bismo odredili f(5), f(5) , izjednačavamo argument funkcije sa 5 kako bismo našli odgovarajuću vrednost za x. x .

3x−1=53x=6x=2\begin{aligned} 3x - 1 &= 5 \\ 3x &= 6 \\ x &= 2 \end{aligned}

Zamenjujemo dobijenu vrednost x=2 x = 2 u izraz za funkciju kako bismo odredili f(5). f(5) .

f(5)=6⋅2−8=12−8=4f(5) = 6 \cdot 2 - 8 = 12 - 8 = 4

Rešavamo deo pod b). Da bismo našli f(x), f(x) , uvodimo smenu t=3x−1 t = 3x - 1 i izražavamo x x preko t. t .

3x−1=t3x=t+1x=t+13\begin{aligned} 3x - 1 &= t \\ 3x &= t + 1 \\ x &= \frac{t + 1}{3} \end{aligned}

Zamenjujemo x x u početnu jednačinu da bismo dobili f(t), f(t) , a zatim umesto t t pišemo x. x .

f(t)=6⋅t+13−8f(t)=2(t+1)−8f(t)=2t+2−8f(t)=2t−6f(x)=2x−6\begin{aligned} f(t) &= 6 \cdot \frac{t + 1}{3} - 8 \\ f(t) &= 2(t + 1) - 8 \\ f(t) &= 2t + 2 - 8 \\ f(t) &= 2t - 6 \\ f(x) &= 2x - 6 \end{aligned}

Rešavamo deo pod v). Funkcija je bijekcija ako je injektivna ("1-1") i sirjektivna ("na"). Prvo dokazujemo injektivnost, odnosno da iz f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) sledi x1=x2. x_1 = x_2 .

f(x1)=f(x2)2x1−6=2x2−62x1=2x2x1=x2\begin{aligned} f(x_1) &= f(x_2) \\ 2x_1 - 6 &= 2x_2 - 6 \\ 2x_1 &= 2x_2 \\ x_1 &= x_2 \end{aligned}

Zatim dokazujemo sirjektivnost, odnosno da za svako y∈R y \in \mathbf{R} postoji x∈R x \in \mathbf{R} takvo da je f(x)=y. f(x) = y .

y=2x−62x=y+6x=y+62\begin{aligned} y &= 2x - 6 \\ 2x &= y + 6 \\ x &= \frac{y + 6}{2} \end{aligned}

Pošto je x x definisano za svako realno y, y , funkcija je sirjektivna. Kako je i injektivna i sirjektivna, funkcija f f je bijekcija. Sada tražimo inverznu funkciju f−1(x) f^{-1}(x) zamenom mesta promenljivama x x i y. y .

x=2y−62y=x+6y=x+62f−1(x)=12x+3\begin{aligned} x &= 2y - 6 \\ 2y &= x + 6 \\ y &= \frac{x + 6}{2} \\ f^{-1}(x) &= \frac{1}{2}x + 3 \end{aligned}

Rešavamo deo pod g). Crtamo grafike funkcija f(x)=2x−6 f(x) = 2x - 6 i f−1(x)=12x+3. f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x + 3 . Grafici međusobno inverznih funkcija su simetrični u odnosu na pravu y=x. y = x .