3253. Funkcije | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Neka je $f(3x - 1) = 6x - 8 ,$ $f : \mathbf{R} \to \mathbf{R} .$ a) Odrediti $f(5) .$ b) Naći $f(x) .$ v) Dokazati da je $f$ bijekcija i odrediti njenu inverznu funkciju. g) Nacrtati grafike funkcija $y = f(x)$ i $y = f^{-1}(x) .$

REŠENJE ZADATKA

Rešavamo deo pod a). Da bismo odredili $f(5) ,$ izjednačavamo argument funkcije sa 5 kako bismo našli odgovarajuću vrednost za $x .$

\begin{aligned} 3x - 1 &= 5 \\ 3x &= 6 \\ x &= 2 \end{aligned}

Zamenjujemo dobijenu vrednost $x = 2$ u izraz za funkciju kako bismo odredili $f(5) .$

f(5) = 6 \cdot 2 - 8 = 12 - 8 = 4

Rešavamo deo pod b). Da bismo našli $f(x) ,$ uvodimo smenu $t = 3x - 1$ i izražavamo $x$ preko $t .$

\begin{aligned} 3x - 1 &= t \\ 3x &= t + 1 \\ x &= \frac{t + 1}{3} \end{aligned}

Zamenjujemo $x$ u početnu jednačinu da bismo dobili $f(t) ,$ a zatim umesto $t$ pišemo $x .$

\begin{aligned} f(t) &= 6 \cdot \frac{t + 1}{3} - 8 \\ f(t) &= 2(t + 1) - 8 \\ f(t) &= 2t + 2 - 8 \\ f(t) &= 2t - 6 \\ f(x) &= 2x - 6 \end{aligned}

Rešavamo deo pod v). Funkcija je bijekcija ako je injektivna ("1-1") i sirjektivna ("na"). Prvo dokazujemo injektivnost, odnosno da iz $f(x_1) = f(x_2)$ sledi $x_1 = x_2 .$

\begin{aligned} f(x_1) &= f(x_2) \\ 2x_1 - 6 &= 2x_2 - 6 \\ 2x_1 &= 2x_2 \\ x_1 &= x_2 \end{aligned}

Zatim dokazujemo sirjektivnost, odnosno da za svako $y \in \mathbf{R}$ postoji $x \in \mathbf{R}$ takvo da je $f(x) = y .$

\begin{aligned} y &= 2x - 6 \\ 2x &= y + 6 \\ x &= \frac{y + 6}{2} \end{aligned}

Pošto je $x$ definisano za svako realno $y ,$ funkcija je sirjektivna. Kako je i injektivna i sirjektivna, funkcija $f$ je bijekcija. Sada tražimo inverznu funkciju $f^{-1}(x)$ zamenom mesta promenljivama $x$ i $y .$

\begin{aligned} x &= 2y - 6 \\ 2y &= x + 6 \\ y &= \frac{x + 6}{2} \\ f^{-1}(x) &= \frac{1}{2}x + 3 \end{aligned}

Rešavamo deo pod g). Crtamo grafike funkcija $f(x) = 2x - 6$ i $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x + 3 .$ Grafici međusobno inverznih funkcija su simetrični u odnosu na pravu $y = x .$

100.a