3249.

93.v

TEKST ZADATKA

Dokazati da su sledeća preslikavanja 1-1 i NA: v) y=12x+2 y = \frac{1}{2}x + 2 ;

REŠENJE ZADATKA

Prvo dokazujemo da je funkcija "1-1" (injektivna). Funkcija je "1-1" ako za svaka dva elementa domena iz jednakosti njihovih slika sledi jednakost samih elemenata, odnosno ako iz f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) sledi x1=x2. x_1 = x_2 .

Pretpostavimo da je f(x1)=f(x2). f(x_1) = f(x_2) . Zamenom u izraz za funkciju dobijamo:

12x1+2=12x2+2\frac{1}{2}x_1 + 2 = \frac{1}{2}x_2 + 2

Oduzimanjem broja 2 sa obe strane jednačine dobijamo:

12x1=12x2\frac{1}{2}x_1 = \frac{1}{2}x_2

Množenjem jednačine sa 2 dobijamo:

x1=x2x_1 = x_2

Pošto smo pokazali da iz f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) sledi x1=x2, x_1 = x_2 , zaključujemo da je funkcija "1-1".

Zatim dokazujemo da je funkcija "NA" (surjektivna). Funkcija je "NA" ako za svako y y iz kodomena postoji x x iz domena takvo da je f(x)=y. f(x) = y .

Polazimo od jednačine i izražavamo x x preko y: y :

y=12x+2y = \frac{1}{2}x + 2

Oduzimanjem broja 2 sa obe strane dobijamo:

12x=y−2\frac{1}{2}x = y - 2

Množenjem cele jednačine sa 2 dobijamo:

x=2(y−2)x = 2(y - 2)

Sređivanjem izraza dobijamo konačan oblik za x: x :

x=2y−4x = 2y - 4

Za svaki realan broj y, y , vrednost x=2y−4 x = 2y - 4 je takođe realan broj, i važi f(x)=y. f(x) = y . Time smo dokazali da je funkcija "NA".

Kako je funkcija i "1-1" i "NA", dokaz je završen (funkcija je bijekcija).