3248.

93.a

TEKST ZADATKA

Dokazati da su sledeća preslikavanja 1-1 i NA: a) y=3x−2 y = 3x - 2 ;

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali da je preslikavanje "1-1" (injektivno), moramo pokazati da iz pretpostavke f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) sledi x1=x2 x_1 = x_2 za svako x1,x2 x_1, x_2 iz domena.

Zamenjujemo izraz za funkciju u jednakost f(x1)=f(x2): f(x_1) = f(x_2) :

3x1−2=3x2−23x_1 - 2 = 3x_2 - 2

Dodajemo 2 obema stranama jednačine:

3x1=3x23x_1 = 3x_2

Delimo jednačinu sa 3:

x1=x2x_1 = x_2

Pošto smo iz f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) dobili x1=x2, x_1 = x_2 , dokazali smo da je preslikavanje "1-1".

Da bismo dokazali da je preslikavanje "NA" (sirjektivno), moramo pokazati da za svako y∈R y \in \mathbb{R} postoji x∈R x \in \mathbb{R} takvo da važi f(x)=y. f(x) = y .

Polazimo od jednačine i izražavamo x x preko y: y :

y=3x−2y = 3x - 2

Prebacujemo -2 na drugu stranu:

3x=y+23x = y + 2

Delimo jednačinu sa 3 da bismo izrazili x: x :

x=y+23x = \frac{y + 2}{3}

Za svaki realan broj y, y , izraz y+23 \frac{y + 2}{3} je takođe realan broj. Time smo dokazali da za svako y y postoji odgovarajuće x, x , pa je preslikavanje "NA".

Zaključujemo da je preslikavanje istovremeno "1-1" i "NA", što znači da je u pitanju bijekcija.