3247.

92.g

TEKST ZADATKA

Neka je f:R→R. f: \mathbf{R} \to \mathbf{R} . Dokazati da je f f 1-1 i NA preslikavanje i odrediti inverznu funkciju f−1: f^{-1} :

f(x)=5x−12f(x) = 5x - \frac{1}{2}
REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali da je funkcija "1-1" (injektivna), pretpostavljamo da je f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) i pokazujemo da iz toga sledi x1=x2. x_1 = x_2 .

5x1−12=5x2−125x_1 - \frac{1}{2} = 5x_2 - \frac{1}{2}

Dodajemo 12 \frac{1}{2} obema stranama jednakosti.

5x1=5x25x_1 = 5x_2

Delimo obe strane sa 5. Pošto smo dobili x1=x2, x_1 = x_2 , dokazali smo da funkcija jeste "1-1".

x1=x2x_1 = x_2

Da bismo dokazali da je funkcija "NA" (sirjektivna), za svako y∈R y \in \mathbf{R} moramo pronaći x∈R x \in \mathbf{R} takvo da važi f(x)=y. f(x) = y .

y=5x−12y = 5x - \frac{1}{2}

Izražavamo x x preko y. y .

5x=y+125x = y + \frac{1}{2}

Delimo sa 5. Za svako realno y, y , dobijeno x x je takođe realan broj, pa je funkcija "NA".

x=y+125=2y+110x = \frac{y + \frac{1}{2}}{5} = \frac{2y + 1}{10}

Pošto je funkcija "1-1" i "NA", ona je bijekcija i ima inverznu funkciju. Inverznu funkciju dobijamo zamenom promenljivih x x i y y u izrazu koji smo dobili.

f−1(x)=2x+110f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{10}