3241.

92.a

TEKST ZADATKA

Neka je f:R→R. f: \mathbf{R} \to \mathbf{R} . Dokazati da je f f 1-1 i NA preslikavanje i odrediti inverznu funkciju f−1: f^{-1} :

f(x)=7x−1f(x) = 7x - 1
REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali da je funkcija 1-1 (injektivna), polazimo od pretpostavke da su vrednosti funkcije jednake za neka dva elementa x1 x_1 i x2 x_2 iz domena.

f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2)

Zamenjujemo definiciju funkcije u jednačinu.

7x1−1=7x2−17x_1 - 1 = 7x_2 - 1

Dodajemo 1 obema stranama jednačine.

7x1=7x27x_1 = 7x_2

Delimo obe strane sa 7.

x1=x2x_1 = x_2

Pošto iz f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) sledi x1=x2, x_1 = x_2 , dokazali smo da je funkcija 1-1.

Da bismo dokazali da je funkcija NA (sirjektivna), moramo pokazati da za svako y∈R y \in \mathbf{R} iz kodomena postoji x∈R x \in \mathbf{R} iz domena takvo da važi f(x)=y. f(x) = y .

y=7x−1y = 7x - 1

Rešavamo jednačinu po nepoznatoj x. x . Dodajemo 1 obema stranama.

7x=y+17x = y + 1

Delimo obe strane sa 7.

x=y+17x = \frac{y + 1}{7}

Kako za svaki realan broj y y izraz y+17 \frac{y + 1}{7} predstavlja realan broj, zaključujemo da uvek postoji traženo x. x . Funkcija je NA.

Pošto je funkcija 1-1 i NA, ona je bijekcija i postoji njena inverzna funkcija. Nju nalazimo tako što u izrazu za x x zamenimo mesta promenljivama x x i y. y .

y=x+17y = \frac{x + 1}{7}

Zapisujemo konačan oblik inverzne funkcije.

f−1(x)=x+17f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{7}