3239. Funkcije | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Dokazati da su sledeća preslikavanja 1-1 i NA: g) $y = \frac{3}{2}x - \frac{2}{3} .$

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali da je funkcija 1-1 (injektivna), polazimo od pretpostavke da je $f(x_1) = f(x_2)$ i pokazujemo da iz toga sledi $x_1 = x_2 .$

\frac{3}{2}x_1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{2}x_2 - \frac{2}{3}

Dodajemo $\frac{2}{3}$ obema stranama jednakosti.

\frac{3}{2}x_1 = \frac{3}{2}x_2

Množimo obe strane sa $\frac{2}{3} .$

x_1 = x_2

Pošto iz $f(x_1) = f(x_2)$ sledi $x_1 = x_2 ,$ zaključujemo da je funkcija 1-1.

Da bismo dokazali da je funkcija NA (sirjektivna), moramo pokazati da za svako $y \in \mathbb{R}$ postoji $x \in \mathbb{R}$ takvo da je $f(x) = y .$

y = \frac{3}{2}x - \frac{2}{3}

Izražavamo $x$ u zavisnosti od $y .$ Prvo dodajemo $\frac{2}{3}$ obema stranama.

y + \frac{2}{3} = \frac{3}{2}x

Zatim množimo obe strane sa $\frac{2}{3} .$

x = \frac{2}{3} \left( y + \frac{2}{3} \right)

Sređujemo izraz.

x = \frac{2}{3}y + \frac{4}{9}

Pošto za svaki realan broj $y$ postoji realan broj $x$ definisan ovim izrazom, funkcija je NA. Kako je funkcija i 1-1 i NA, ona je bijekcija.

93.g