3239.

93.g

TEKST ZADATKA

Dokazati da su sledeća preslikavanja 1-1 i NA: g) y=32x−23. y = \frac{3}{2}x - \frac{2}{3} .

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali da je funkcija 1-1 (injektivna), polazimo od pretpostavke da je f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) i pokazujemo da iz toga sledi x1=x2. x_1 = x_2 .

32x1−23=32x2−23\frac{3}{2}x_1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{2}x_2 - \frac{2}{3}

Dodajemo 23 \frac{2}{3} obema stranama jednakosti.

32x1=32x2\frac{3}{2}x_1 = \frac{3}{2}x_2

Množimo obe strane sa 23. \frac{2}{3} .

x1=x2x_1 = x_2

Pošto iz f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) sledi x1=x2, x_1 = x_2 , zaključujemo da je funkcija 1-1.

Da bismo dokazali da je funkcija NA (sirjektivna), moramo pokazati da za svako y∈R y \in \mathbb{R} postoji x∈R x \in \mathbb{R} takvo da je f(x)=y. f(x) = y .

y=32x−23y = \frac{3}{2}x - \frac{2}{3}

Izražavamo x x u zavisnosti od y. y . Prvo dodajemo 23 \frac{2}{3} obema stranama.

y+23=32xy + \frac{2}{3} = \frac{3}{2}x

Zatim množimo obe strane sa 23. \frac{2}{3} .

x=23(y+23)x = \frac{2}{3} \left( y + \frac{2}{3} \right)

Sređujemo izraz.

x=23y+49x = \frac{2}{3}y + \frac{4}{9}

Pošto za svaki realan broj y y postoji realan broj x x definisan ovim izrazom, funkcija je NA. Kako je funkcija i 1-1 i NA, ona je bijekcija.