3236.

92.d

TEKST ZADATKA

Neka je f:R→R. f: \mathbf{R} \to \mathbf{R} . Dokazati da je f f 1-1 i NA preslikavanje i odrediti inverznu funkciju f−1: f^{-1} :

f(x)=x3−112f(x) = \frac{x}{3} - \frac{1}{12}
REŠENJE ZADATKA

Prvo dokazujemo da je funkcija f f '1-1' (injektivna). Funkcija je injektivna ako za svaka dva elementa x1,x2∈R x_1, x_2 \in \mathbf{R} važi:

f(x1)=f(x2)  ⟹  x1=x2f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2

Pretpostavimo da je f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) i zamenimo izraz za funkciju:

x13−112=x23−112\frac{x_1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{x_2}{3} - \frac{1}{12}

Dodavanjem 112 \frac{1}{12} obema stranama jednakosti dobijamo:

x13=x23\frac{x_1}{3} = \frac{x_2}{3}

Množenjem jednačine sa 3 dobijamo x1=x2, x_1 = x_2 , čime smo dokazali da je funkcija '1-1'.

x1=x2x_1 = x_2

Zatim dokazujemo da je funkcija 'NA' (sirjektivna). Funkcija je sirjektivna ako za svako y∈R y \in \mathbf{R} (iz kodomena) postoji x∈R x \in \mathbf{R} (iz domena) takvo da je:

f(x)=yf(x) = y

Postavljamo jednačinu i rešavamo je po x: x :

x3−112=y\frac{x}{3} - \frac{1}{12} = y

Prebacujemo −112 -\frac{1}{12} na desnu stranu:

x3=y+112\frac{x}{3} = y + \frac{1}{12}

Množimo celu jednačinu sa 3 kako bismo izrazili x: x :

x=3y+312  ⟹  x=3y+14x = 3y + \frac{3}{12} \implies x = 3y + \frac{1}{4}

Pošto za svako realno y y postoji realno x, x , funkcija je 'NA'. Kako je funkcija i '1-1' i 'NA', ona je bijekcija i ima inverznu funkciju. Inverznu funkciju nalazimo zamenom promenljivih x x i y y u dobijenom izrazu:

y=3x+14y = 3x + \frac{1}{4}

Zapisujemo konačan oblik inverzne funkcije:

f−1(x)=3x+14f^{-1}(x) = 3x + \frac{1}{4}