3233.

91

TEKST ZADATKA

Data su preslikavanja: f=(abcd1234) f = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} g=(abcd2413) g = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix} h=(abcd4321) h = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} j=(1234cadb) j = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ c & a & d & b \end{pmatrix} k=(1234bcda) k = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ b & c & d & a \end{pmatrix} l=(1234dcba) l = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ d & c & b & a \end{pmatrix} Odrediti inverzna preslikavanja f−1,g−1,h−1,j−1,k−1 f^{-1}, g^{-1}, h^{-1}, j^{-1}, k^{-1} i l−1. l^{-1} .

REŠENJE ZADATKA

Inverzno preslikavanje bijekcije zadate u obliku tablice (matrice) dobijamo tako što zamenimo mesta vrstama, a zatim kolone preuredimo tako da elementi u prvoj vrsti budu u standardnom (leksikografskom ili rastućem) poretku.

Za preslikavanje f, f , zamenom mesta vrstama prva vrsta postaje 1,2,3,4, 1, 2, 3, 4 , što je već sortirano. Dobijamo:

f−1=(1234abcd)f^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ a & b & c & d \end{pmatrix}

Za preslikavanje g, g , zamenom mesta vrstama dobijamo (2413abcd). \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 \\ a & b & c & d \end{pmatrix} . Kada sortiramo prvu vrstu u rastući poredak, dobijamo:

g−1=(1234cadb)g^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ c & a & d & b \end{pmatrix}

Za preslikavanje h, h , zamenom mesta vrstama dobijamo (4321abcd). \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 & 1 \\ a & b & c & d \end{pmatrix} . Sortiranjem prve vrste dobijamo:

h−1=(1234dcba)h^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ d & c & b & a \end{pmatrix}

Za preslikavanje j, j , zamenom mesta vrstama dobijamo (cadb1234). \begin{pmatrix} c & a & d & b \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} . Sortiranjem prve vrste abecedno dobijamo:

j−1=(abcd2413)j^{-1} = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}

Za preslikavanje k, k , zamenom mesta vrstama dobijamo (bcda1234). \begin{pmatrix} b & c & d & a \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} . Sortiranjem prve vrste abecedno dobijamo:

k−1=(abcd4123)k^{-1} = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}

Za preslikavanje l, l , zamenom mesta vrstama dobijamo (dcba1234). \begin{pmatrix} d & c & b & a \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} . Sortiranjem prve vrste abecedno dobijamo:

l−1=(abcd4321)l^{-1} = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}