3233. Funkcije | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Data su preslikavanja: $f = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$ $g = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ $h = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ $j = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ c & a & d & b \end{pmatrix}$ $k = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ b & c & d & a \end{pmatrix}$ $l = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ d & c & b & a \end{pmatrix}$ Odrediti inverzna preslikavanja $f^{-1}, g^{-1}, h^{-1}, j^{-1}, k^{-1}$ i $l^{-1} .$

REŠENJE ZADATKA

Inverzno preslikavanje bijekcije zadate u obliku tablice (matrice) dobijamo tako što zamenimo mesta vrstama, a zatim kolone preuredimo tako da elementi u prvoj vrsti budu u standardnom (leksikografskom ili rastućem) poretku.

Za preslikavanje $f ,$ zamenom mesta vrstama prva vrsta postaje $1, 2, 3, 4 ,$ što je već sortirano. Dobijamo:

f^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ a & b & c & d \end{pmatrix}

Za preslikavanje $g ,$ zamenom mesta vrstama dobijamo $\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 \\ a & b & c & d \end{pmatrix} .$ Kada sortiramo prvu vrstu u rastući poredak, dobijamo:

g^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ c & a & d & b \end{pmatrix}

Za preslikavanje $h ,$ zamenom mesta vrstama dobijamo $\begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 & 1 \\ a & b & c & d \end{pmatrix} .$ Sortiranjem prve vrste dobijamo:

h^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ d & c & b & a \end{pmatrix}

Za preslikavanje $j ,$ zamenom mesta vrstama dobijamo $\begin{pmatrix} c & a & d & b \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} .$ Sortiranjem prve vrste abecedno dobijamo:

j^{-1} = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}

Za preslikavanje $k ,$ zamenom mesta vrstama dobijamo $\begin{pmatrix} b & c & d & a \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} .$ Sortiranjem prve vrste abecedno dobijamo:

k^{-1} = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}

Za preslikavanje $l ,$ zamenom mesta vrstama dobijamo $\begin{pmatrix} d & c & b & a \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} .$ Sortiranjem prve vrste abecedno dobijamo:

l^{-1} = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}

91