3231.

88

TEKST ZADATKA

Neka je f(x)=1+2x, f(x) = 1 + 2x , g(x)=1+x2. g(x) = 1 + x^2 . Naći f∘g, f \circ g , g∘f, g \circ f , g∘g, g \circ g , g3=g∘g∘g, g^3 = g \circ g \circ g , f∘g3. f \circ g^3 .

REŠENJE ZADATKA

Računamo kompoziciju f∘g. f \circ g . Zamenjujemo funkciju g(x) g(x) umesto promenljive x x u funkciji f(x). f(x) .

(f∘g)(x)=f(g(x))=f(1+x2)=1+2(1+x2)=1+2+2x2=2x2+3(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(1 + x^2) = 1 + 2(1 + x^2) = 1 + 2 + 2x^2 = 2x^2 + 3

Računamo kompoziciju g∘f. g \circ f . Zamenjujemo funkciju f(x) f(x) umesto promenljive x x u funkciji g(x). g(x) .

(g∘f)(x)=g(f(x))=g(1+2x)=1+(1+2x)2=1+(1+4x+4x2)=4x2+4x+2(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(1 + 2x) = 1 + (1 + 2x)^2 = 1 + (1 + 4x + 4x^2) = 4x^2 + 4x + 2

Računamo kompoziciju g∘g. g \circ g . Zamenjujemo funkciju g(x) g(x) umesto promenljive x x u samoj funkciji g(x). g(x) .

(g∘g)(x)=g(g(x))=g(1+x2)=1+(1+x2)2=1+(1+2x2+x4)=x4+2x2+2(g \circ g)(x) = g(g(x)) = g(1 + x^2) = 1 + (1 + x^2)^2 = 1 + (1 + 2x^2 + x^4) = x^4 + 2x^2 + 2

Računamo kompoziciju g3=g∘g∘g. g^3 = g \circ g \circ g . Ovo možemo zapisati kao g((g∘g)(x)) g((g \circ g)(x)) i iskoristiti prethodno dobijeni rezultat.

g3(x)=g(x4+2x2+2)=1+(x4+2x2+2)2g^3(x) = g(x^4 + 2x^2 + 2) = 1 + (x^4 + 2x^2 + 2)^2

Kvadriramo trinom primenom formule (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca i sređujemo izraz.

g3(x)=1+(x8+4x4+4+4x6+8x2+4x4)=x8+4x6+8x4+8x2+5g^3(x) = 1 + (x^8 + 4x^4 + 4 + 4x^6 + 8x^2 + 4x^4) = x^8 + 4x^6 + 8x^4 + 8x^2 + 5

Na kraju, računamo kompoziciju f∘g3. f \circ g^3 . Zamenjujemo dobijeni izraz za g3(x) g^3(x) u funkciju f(x). f(x) .

(f∘g3)(x)=f(g3(x))=1+2(x8+4x6+8x4+8x2+5)(f \circ g^3)(x) = f(g^3(x)) = 1 + 2(x^8 + 4x^6 + 8x^4 + 8x^2 + 5)

Množimo zagradu sa 2 i sabiramo konstante kako bismo dobili konačan rezultat.

(f∘g3)(x)=1+2x8+8x6+16x4+16x2+10=2x8+8x6+16x4+16x2+11(f \circ g^3)(x) = 1 + 2x^8 + 8x^6 + 16x^4 + 16x^2 + 10 = 2x^8 + 8x^6 + 16x^4 + 16x^2 + 11