Kompozicije funkcija 1 + 2x i 1 + x na kvadrat

Računamo kompoziciju $f \circ g .$ Zamenjujemo funkciju $g(x)$ umesto promenljive $x$ u funkciji $f(x) .$

(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(1 + x^2) = 1 + 2(1 + x^2) = 1 + 2 + 2x^2 = 2x^2 + 3

Računamo kompoziciju $g \circ f .$ Zamenjujemo funkciju $f(x)$ umesto promenljive $x$ u funkciji $g(x) .$

(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(1 + 2x) = 1 + (1 + 2x)^2 = 1 + (1 + 4x + 4x^2) = 4x^2 + 4x + 2

Računamo kompoziciju $g \circ g .$ Zamenjujemo funkciju $g(x)$ umesto promenljive $x$ u samoj funkciji $g(x) .$

(g \circ g)(x) = g(g(x)) = g(1 + x^2) = 1 + (1 + x^2)^2 = 1 + (1 + 2x^2 + x^4) = x^4 + 2x^2 + 2

Računamo kompoziciju $g^3 = g \circ g \circ g .$ Ovo možemo zapisati kao $g((g \circ g)(x))$ i iskoristiti prethodno dobijeni rezultat.

g^3(x) = g(x^4 + 2x^2 + 2) = 1 + (x^4 + 2x^2 + 2)^2

Kvadriramo trinom primenom formule $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ i sređujemo izraz.

g^3(x) = 1 + (x^8 + 4x^4 + 4 + 4x^6 + 8x^2 + 4x^4) = x^8 + 4x^6 + 8x^4 + 8x^2 + 5

Na kraju, računamo kompoziciju $f \circ g^3 .$ Zamenjujemo dobijeni izraz za $g^3(x)$ u funkciju $f(x) .$

(f \circ g^3)(x) = f(g^3(x)) = 1 + 2(x^8 + 4x^6 + 8x^4 + 8x^2 + 5)

Množimo zagradu sa 2 i sabiramo konstante kako bismo dobili konačan rezultat.

(f \circ g^3)(x) = 1 + 2x^8 + 8x^6 + 16x^4 + 16x^2 + 10 = 2x^8 + 8x^6 + 16x^4 + 16x^2 + 11

88