3229.

92.đ

TEKST ZADATKA

Neka je f:R→R. f: \mathbf{R} \to \mathbf{R} . Dokazati da je f f 1-1 i NA preslikavanje i odrediti inverznu funkciju f−1: f^{-1} :

f(x)=x+23f(x) = \frac{x+2}{3}
REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali da je funkcija 1-1 (injektivna), pretpostavimo da za proizvoljne x1,x2∈R x_1, x_2 \in \mathbf{R} važi f(x1)=f(x2). f(x_1) = f(x_2) .

x1+23=x2+23\frac{x_1+2}{3} = \frac{x_2+2}{3}

Množenjem obe strane jednačine sa 3 dobijamo:

x1+2=x2+2x_1 + 2 = x_2 + 2

Oduzimanjem broja 2 sa obe strane sledi x1=x2. x_1 = x_2 . Pošto iz f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) sledi x1=x2, x_1 = x_2 , zaključujemo da je funkcija 1-1.

x1=x2x_1 = x_2

Da bismo dokazali da je funkcija NA (surjektivna), za svako y∈R y \in \mathbf{R} moramo pronaći x∈R x \in \mathbf{R} takvo da važi f(x)=y. f(x) = y .

x+23=y\frac{x+2}{3} = y

Rešavamo jednačinu po x. x . Množenjem sa 3 dobijamo:

x+2=3yx + 2 = 3y

Oduzimanjem broja 2 izražavamo x: x :

x=3y−2x = 3y - 2

Za svaki realan broj y, y , vrednost x=3y−2 x = 3y - 2 je takođe realan broj. Time smo dokazali da je funkcija NA preslikavanje.

Pošto je funkcija 1-1 i NA, ona je bijekcija i ima inverznu funkciju. Izraženo x x preko y y predstavlja inverzno preslikavanje. Zamenom promenljivih (x↔y x \leftrightarrow y ) zapisujemo inverznu funkciju:

f−1(x)=3x−2f^{-1}(x) = 3x - 2