3228.

92.b

TEKST ZADATKA

Neka je f:R→R. f: \mathbf{R} \to \mathbf{R} . Dokazati da je f f 1-1 i NA preslikavanje i odrediti inverznu funkciju f−1: f^{-1} : f(x)=2x+3 f(x) = 2x + 3 ;

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali da je funkcija "1-1" (injektivna), moramo pokazati da iz f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) sledi x1=x2 x_1 = x_2 za svako x1,x2∈R. x_1, x_2 \in \mathbf{R} .

Pretpostavimo da je f(x1)=f(x2). f(x_1) = f(x_2) . Zamenom u izraz za funkciju dobijamo:

2x1+3=2x2+32x_1 + 3 = 2x_2 + 3

Oduzimanjem broja 3 sa obe strane jednakosti dobijamo:

2x1=2x22x_1 = 2x_2

Deljenjem sa 2 dobijamo:

x1=x2x_1 = x_2

Pošto smo pokazali da iz f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) sledi x1=x2, x_1 = x_2 , zaključujemo da je funkcija f f "1-1".

Da bismo dokazali da je funkcija "NA" (sirjektivna), moramo pokazati da za svako y∈R y \in \mathbf{R} postoji x∈R x \in \mathbf{R} takvo da je f(x)=y. f(x) = y .

Postavimo jednačinu:

y=2x+3y = 2x + 3

Rešavamo jednačinu po x: x :

2x=y−32x = y - 3

Deljenjem sa 2 dobijamo:

x=y−32x = \frac{y - 3}{2}

Za svako realno y, y , izraz y−32 \frac{y - 3}{2} je takođe realan broj. Dakle, za svako y y postoji odgovarajuće x, x , što znači da je funkcija "NA".

Pošto je funkcija i "1-1" i "NA" (bijekcija), ona ima inverznu funkciju. Inverznu funkciju nalazimo zamenom mesta promenljivama x x i y y u izrazu za x. x .

Zamenom promenljivih dobijamo inverznu funkciju:

f−1(x)=x−32f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}