3227. Funkcije | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Neka je $A = \{1, 2, 3, 4\}$ i $f: A \to A .$ Koje od sledećih funkcija su 1-1, a koje NA:

f = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}

REŠENJE ZADATKA

Prvo proveravamo da li je funkcija "1-1" (injektivna). Funkcija je "1-1" ako različite elemente domena preslikava u različite elemente kodomena, odnosno ako iz jednakosti slika sledi jednakost originala.

f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2

Iz zadate funkcije vidimo da se svi elementi domena preslikavaju u isti element kodomena, odnosno u broj 3. Na primer, za elemente 1 i 2 važi:

f(1) = 3 \quad \text{i} \quad f(2) = 3

Pošto imaju istu sliku ( $f(1) = f(2)$ ), a sami elementi su različiti ( $1 \neq 2$ ), zaključujemo da funkcija nije "1-1".

Zatim proveravamo da li je funkcija "NA" (sirjektivna). Funkcija je "NA" ako je slika funkcije jednaka celom kodomenu, odnosno ako se svaki element kodomena preslikava iz nekog elementa domena.

\text{Im}(f) = A

Kodomen funkcije je skup $A = \{1, 2, 3, 4\} .$ Slika funkcije, odnosno skup svih vrednosti koje funkcija uzima, sadrži samo element 3.

\text{Im}(f) = \{3\}

Pošto slika funkcije nije jednaka kodomenu (na primer, ne postoji element $x \in A$ takav da je $f(x) = 1$ ), zaključujemo da funkcija nije "NA".

\text{Im}(f) \neq A

Konačan zaključak je da zadata funkcija nije ni "1-1" ni "NA".

90.đ