3226.

93.b

TEKST ZADATKA

Dokazati da su sledeća preslikavanja 1-1 i NA: b) y=−2x+3 y = -2x + 3 ;

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali da je preslikavanje "1-1" (injektivno), moramo pokazati da iz pretpostavke f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) sledi x1=x2. x_1 = x_2 .

Neka su x1 x_1 i x2 x_2 proizvoljni realni brojevi. Izjednačavamo vrednosti funkcije za ta dva broja:

−2x1+3=−2x2+3-2x_1 + 3 = -2x_2 + 3

Oduzimanjem broja 3 sa obe strane jednačine dobijamo:

−2x1=−2x2-2x_1 = -2x_2

Deljenjem obe strane sa -2 dobijamo:

x1=x2x_1 = x_2

Pošto smo iz f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) dobili da je x1=x2, x_1 = x_2 , dokazali smo da je preslikavanje "1-1".

Da bismo dokazali da je preslikavanje "NA" (sirjektivno), moramo pokazati da za svako y∈R y \in \mathbb{R} postoji x∈R x \in \mathbb{R} takvo da je f(x)=y. f(x) = y .

Polazimo od date jednačine i izražavamo x x preko y: y :

y=−2x+3y = -2x + 3

Prebacujemo 3 na levu stranu:

y−3=−2xy - 3 = -2x

Deljenjem sa -2 dobijamo izraz za x: x :

x=y−3−2x = \frac{y - 3}{-2}

Množenjem brojioca i imenioca sa -1, radi lepšeg zapisa, dobijamo:

x=3−y2x = \frac{3 - y}{2}

Za svaki realan broj y, y , izraz 3−y2 \frac{3 - y}{2} je takođe realan broj. Zamenom ovog x x u početnu funkciju sigurno dobijamo y, y , čime je dokazano da je preslikavanje "NA".

Pošto je preslikavanje istovremeno "1-1" i "NA", zaključujemo da je ono bijekcija.