3225.

89.a

TEKST ZADATKA

Neka su f,g:R→R f, g: \mathbf{R} \to \mathbf{R} f(x)=x−1, f(x) = x - 1 , g(x)=∣x∣ g(x) = |x| ; Odrediti (f∘g)(0), (f \circ g)(0) , (g∘f)(1), (g \circ f)(1) , f∘g, f \circ g , g∘f, g \circ f , f∘f, f \circ f , g∘g. g \circ g .

REŠENJE ZADATKA

Računamo vrednost kompozicije (f∘g)(0): (f \circ g)(0) :

(f∘g)(0)=f(g(0))=f(∣0∣)=f(0)=0−1=−1(f \circ g)(0) = f(g(0)) = f(|0|) = f(0) = 0 - 1 = -1

Računamo vrednost kompozicije (g∘f)(1): (g \circ f)(1) :

(g∘f)(1)=g(f(1))=g(1−1)=g(0)=∣0∣=0(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(1 - 1) = g(0) = |0| = 0

Određujemo kompoziciju f∘g. f \circ g . Prvo definišemo apsolutnu vrednost ∣x∣ |x| kroz slučajeve:

∣x∣={x,za x≥0−x,za x<0|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Sada računamo (f∘g)(x): (f \circ g)(x) :

(f∘g)(x)=f(g(x))=f(∣x∣)=∣x∣−1(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(|x|) = |x| - 1

Određujemo kompoziciju g∘f: g \circ f :

(g∘f)(x)=g(f(x))=g(x−1)=∣x−1∣(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x - 1) = |x - 1|

Definišemo dobijeni izraz sa apsolutnom vrednošću ∣x−1∣ |x - 1| kroz slučajeve:

∣x−1∣={x−1,za x−1≥0−(x−1),za x−1<0|x - 1| = \begin{cases} x - 1, & \text{za } x - 1 \ge 0 \\ -(x - 1), & \text{za } x - 1 < 0 \end{cases}

Određujemo kompoziciju f∘f: f \circ f :

(f∘f)(x)=f(f(x))=f(x−1)=(x−1)−1=x−2(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(x - 1) = (x - 1) - 1 = x - 2

Određujemo kompoziciju g∘g: g \circ g :

(g∘g)(x)=g(g(x))=g(∣x∣)=∣∣x∣∣(g \circ g)(x) = g(g(x)) = g(|x|) = ||x||

Definišemo dobijeni izraz sa apsolutnom vrednošću ∣∣x∣∣ ||x|| kroz slučajeve:

∣∣x∣∣={∣x∣,za ∣x∣≥0−∣x∣,za ∣x∣<0||x|| = \begin{cases} |x|, & \text{za } |x| \ge 0 \\ -|x|, & \text{za } |x| < 0 \end{cases}

Pošto je apsolutna vrednost uvek nenegativna (∣x∣≥0 |x| \ge 0 ), važi samo prvi slučaj, pa je konačan rezultat:

(g∘g)(x)=∣x∣(g \circ g)(x) = |x|