3224.

92.v

TEKST ZADATKA

Neka je f:R→R. f: \mathbf{R} \to \mathbf{R} . Dokazati da je f f 1-1 i NA preslikavanje i odrediti inverznu funkciju f−1: f^{-1} :

f(x)=5x−24f(x) = \frac{5x - 2}{4}
REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali da je funkcija 1-1 (injektivna), pretpostavljamo da važi f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) i pokazujemo da iz toga sledi x1=x2. x_1 = x_2 .

5x1−24=5x2−24\frac{5x_1 - 2}{4} = \frac{5x_2 - 2}{4}

Množenjem obe strane jednačine sa 4 dobijamo:

5x1−2=5x2−25x_1 - 2 = 5x_2 - 2

Dodavanjem 2 obema stranama jednačine dobijamo:

5x1=5x25x_1 = 5x_2

Deljenjem sa 5 sledi:

x1=x2x_1 = x_2

Pošto iz f(x1)=f(x2) f(x_1) = f(x_2) sledi x1=x2, x_1 = x_2 , zaključujemo da je funkcija 1-1.

Da bismo dokazali da je funkcija NA (sirjektivna), za svako y∈R y \in \mathbf{R} moramo pronaći x∈R x \in \mathbf{R} takvo da je f(x)=y. f(x) = y .

y=5x−24y = \frac{5x - 2}{4}

Množenjem sa 4 dobijamo:

4y=5x−24y = 5x - 2

Izražavamo x x preko y: y :

5x=4y+25x = 4y + 2

Deljenjem sa 5 dobijamo:

x=4y+25x = \frac{4y + 2}{5}

Za svaki realan broj y, y , vrednost x=4y+25 x = \frac{4y + 2}{5} je takođe realan broj. Zato je funkcija NA.

Pošto je funkcija 1-1 i NA, ona je bijekcija i ima inverznu funkciju. Inverznu funkciju dobijamo zamenom mesta promenljivama x x i y y u izrazu koji smo dobili.

y=4x+25y = \frac{4x + 2}{5}

Konačan oblik inverzne funkcije je:

f−1(x)=4x+25f^{-1}(x) = \frac{4x + 2}{5}