3342.

139

TEKST ZADATKA

Koliko ima petocifrenih brojeva deljivih sa 4, a u čijim zapisima ne učestvuju cifre 0, 2, 4, 6?

REŠENJE ZADATKA

Prvo, odredimo skup dozvoljenih cifara. Pošto su isključene cifre 0, 2, 4 i 6, preostale cifre koje možemo koristiti su 1, 3, 5, 7, 8 i 9. Ukupan broj dozvoljenih cifara je 6.

S={1,3,5,7,8,9}S = \{1, 3, 5, 7, 8, 9\}

Da bi broj bio deljiv sa 4, dvocifreni broj koji čine njegove poslednje dve cifre mora biti deljiv sa 4. Takođe, to znači da ceo broj mora biti paran, pa se mora završavati parnom cifrom.

U našem skupu dozvoljenih cifara S, S , jedina parna cifra je 8. Zbog toga, poslednja cifra našeg petocifrenog broja mora biti 8.

e=8e = 8

Sada posmatramo pretposlednju cifru. Dvocifreni završetak mora biti oblika d8, d8 , gde je d∈S. d \in S . Mogući dvocifreni završeci su 18, 38, 58, 78, 88 i 98.

d8‾∈{18,38,58,78,88,98}\overline{d8} \in \{18, 38, 58, 78, 88, 98\}

Proveravamo koji od ovih brojeva je deljiv sa 4. Jedini broj koji ispunjava ovaj uslov je 88. Dakle, poslednje dve cifre moraju biti 88.

88=4⋅2288 = 4 \cdot 22

Naš petocifreni broj je oblika abc88‾. \overline{abc88} . Za prve tri cifre (a, a , b b i c c ) možemo izabrati bilo koju od 6 dozvoljenih cifara iz skupa S. S .

a,b,c∈{1,3,5,7,8,9}a, b, c \in \{1, 3, 5, 7, 8, 9\}

Koristimo pravilo proizvoda da bismo našli ukupan broj ovakvih petocifrenih brojeva. Za svaku od prve tri pozicije imamo po 6 mogućnosti, dok za poslednje dve imamo samo po 1 mogućnost (cifra 8).

N=6⋅6⋅6⋅1⋅1N = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 1

Računamo konačan rezultat množenjem ovih vrednosti.

N=216N = 216