Dokaz: sinus zbira kroz proizvod kosinusa

Polazimo od leve strane identiteta:

\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}

Primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira uglova: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .$

\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}

Razdvajamo razlomak na zbir dva razlomka sa istim imeniocem:

\frac{\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}

Skraćujemo zajedničke faktore u brojiocu i imeniocu svakog razlomka ( $\cos \beta$ u prvom i $\cos \alpha$ u drugom):

\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}

Koristeći definiciju tangensa $\text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} ,$ dobijamo:

\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta

Dobili smo desnu stranu početnog izraza, čime je identitet dokazan.

\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} = \text{tg} \alpha + \text{tg} \beta

674