2468. Adicione formule | Balkan Tutor

Polazimo od leve strane identiteta. Grupišemo poslednja dva člana:

\text{tg}(\alpha + \beta) - (\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta)

Iz adicione formule za tangens zbira, $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta} ,$ izražavamo zbir tangensa:

\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta = \text{tg}(\alpha + \beta) (1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta)

Zamenjujemo dobijeni izraz u početnu jednakost:

\text{tg}(\alpha + \beta) - \text{tg}(\alpha + \beta) (1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta)

Izvlačimo zajednički faktor $\text{tg}(\alpha + \beta)$ ispred zagrade:

\text{tg}(\alpha + \beta) (1 - (1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta))

Sređujemo izraz unutar zagrade:

\text{tg}(\alpha + \beta) (1 - 1 + \text{tg} \alpha \text{tg} \beta)

Nakon skraćivanja dobijamo desnu stranu identiteta, čime je dokaz završen:

\text{tg} \alpha \text{tg} \beta \text{tg}(\alpha + \beta)

673