2475.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

cos⁡α+sin⁡αcos⁡α−sin⁡α=tg(π4+α)\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta. Delimo i brojilac i imenilac sa cos⁡α \cos \alpha (pod pretpostavkom da je cos⁡α≠0 \cos \alpha \neq 0 ):

cos⁡α+sin⁡αcos⁡αcos⁡α−sin⁡αcos⁡α\frac{\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha}}

Razdvajamo razlomke u brojiocu i imeniocu:

cos⁡αcos⁡α+sin⁡αcos⁡αcos⁡αcos⁡α−sin⁡αcos⁡α\frac{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}

Skraćujemo razlomke i koristimo definiciju tangensa tgα=sin⁡αcos⁡α: \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} :

1+tgα1−tgα\frac{1 + \text{tg} \alpha}{1 - \text{tg} \alpha}

Zapisujemo broj 1 1 kao tgπ4 \text{tg} \frac{\pi}{4} kako bismo pripremili izraz za adicionu formulu:

tgπ4+tgα1−tgπ4⋅tgα\frac{\text{tg} \frac{\pi}{4} + \text{tg} \alpha}{1 - \text{tg} \frac{\pi}{4} \cdot \text{tg} \alpha}

Primenjujemo adicionu formulu za tangens zbira uglova, tg(α+β)=tgα+tgβ1−tgαtgβ: \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta} :

tg(π4+α)\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)

Dobili smo izraz na desnoj strani, čime je identitet dokazan.

cos⁡α+sin⁡αcos⁡α−sin⁡α=tg(π4+α)\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti