Dokaz: proizvod kosinusa zbira i razlike uglova

Polazimo od leve strane jednakosti. Koristimo adicione formule za kosinus zbira i razlike uglova:

\begin{aligned} \cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{aligned}

Zamenjujemo ove formule u početni izraz:

\cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2 :$

(\cos \alpha \cos \beta)^2 - (\sin \alpha \sin \beta)^2 = \cos^2 \alpha \cos^2 \beta - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta

Pošto na desnoj strani jednakosti koju dokazujemo figurišu samo $\cos^2 \alpha$ i $\sin^2 \beta ,$ potrebno je da eliminišemo $\cos^2 \beta$ i $\sin^2 \alpha .$ Koristimo osnovni trigonometrijski identitet:

\begin{aligned} \cos^2 \beta &= 1 - \sin^2 \beta \\ \sin^2 \alpha &= 1 - \cos^2 \alpha \end{aligned}

Zamenjujemo ove izraze u našu jednačinu:

\cos^2 \alpha (1 - \sin^2 \beta) - (1 - \cos^2 \alpha) \sin^2 \beta

Množimo članove u zagradama:

\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \sin^2 \beta - (\sin^2 \beta - \cos^2 \alpha \sin^2 \beta)

Oslobađamo se zagrade i sređujemo izraz:

\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \sin^2 \beta - \sin^2 \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta

Skraćujemo suprotne članove $-\cos^2 \alpha \sin^2 \beta$ i $\cos^2 \alpha \sin^2 \beta :$

\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta

Dobili smo izraz koji se nalazi na desnoj strani, čime je identitet dokazan.

\cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta

Započni učenje

Online časovi

656.b

Beleške