2465.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=cos⁡2α−sin⁡2β\cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti. Koristimo adicione formule za kosinus zbira i razlike uglova:

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡βcos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\begin{aligned} \cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{aligned}

Zamenjujemo ove formule u početni izraz:

cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)\cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata (A−B)(A+B)=A2−B2: (A - B)(A + B) = A^2 - B^2 :

(cos⁡αcos⁡β)2−(sin⁡αsin⁡β)2=cos⁡2αcos⁡2β−sin⁡2αsin⁡2β(\cos \alpha \cos \beta)^2 - (\sin \alpha \sin \beta)^2 = \cos^2 \alpha \cos^2 \beta - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta

Pošto na desnoj strani jednakosti koju dokazujemo figurišu samo cos⁡2α \cos^2 \alpha i sin⁡2β, \sin^2 \beta , potrebno je da eliminišemo cos⁡2β \cos^2 \beta i sin⁡2α. \sin^2 \alpha . Koristimo osnovni trigonometrijski identitet:

cos⁡2β=1−sin⁡2βsin⁡2α=1−cos⁡2α\begin{aligned} \cos^2 \beta &= 1 - \sin^2 \beta \\ \sin^2 \alpha &= 1 - \cos^2 \alpha \end{aligned}

Zamenjujemo ove izraze u našu jednačinu:

cos⁡2α(1−sin⁡2β)−(1−cos⁡2α)sin⁡2β\cos^2 \alpha (1 - \sin^2 \beta) - (1 - \cos^2 \alpha) \sin^2 \beta

Množimo članove u zagradama:

cos⁡2α−cos⁡2αsin⁡2β−(sin⁡2β−cos⁡2αsin⁡2β)\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \sin^2 \beta - (\sin^2 \beta - \cos^2 \alpha \sin^2 \beta)

Oslobađamo se zagrade i sređujemo izraz:

cos⁡2α−cos⁡2αsin⁡2β−sin⁡2β+cos⁡2αsin⁡2β\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \sin^2 \beta - \sin^2 \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta

Skraćujemo suprotne članove −cos⁡2αsin⁡2β -\cos^2 \alpha \sin^2 \beta i cos⁡2αsin⁡2β: \cos^2 \alpha \sin^2 \beta :

cos⁡2α−sin⁡2β\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta

Dobili smo izraz koji se nalazi na desnoj strani, čime je identitet dokazan.

cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=cos⁡2α−sin⁡2β\cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti