2464.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

sin⁡(α+β)sin⁡(α−β)=sin⁡2α−sin⁡2β\sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha - \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta i primenjujemo adicione formule za sinus zbirova i razlika uglova:

sin⁡(α+β)sin⁡(α−β)=(sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β)(sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β)\sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha - \beta) = (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)(\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta)

Množenjem zagrada primećujemo razliku kvadrata oblika (A+B)(A−B)=A2−B2: (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 :

(sin⁡αcos⁡β)2−(cos⁡αsin⁡β)2=sin⁡2αcos⁡2β−cos⁡2αsin⁡2β(\sin \alpha \cos \beta)^2 - (\cos \alpha \sin \beta)^2 = \sin^2 \alpha \cos^2 \beta - \cos^2 \alpha \sin^2 \beta

Pošto desna strana identiteta sadrži samo sinuse, koristimo osnovni trigonometrijski identitet cos⁡2x=1−sin⁡2x \cos^2 x = 1 - \sin^2 x da zamenimo kosinuse:

sin⁡2α(1−sin⁡2β)−(1−sin⁡2α)sin⁡2β\sin^2 \alpha (1 - \sin^2 \beta) - (1 - \sin^2 \alpha) \sin^2 \beta

Množimo izraze u zagradama:

sin⁡2α−sin⁡2αsin⁡2β−(sin⁡2β−sin⁡2αsin⁡2β)\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta - (\sin^2 \beta - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta)

Oslobađamo se zagrade i sređujemo izraz:

sin⁡2α−sin⁡2αsin⁡2β−sin⁡2β+sin⁡2αsin⁡2β\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta - \sin^2 \beta + \sin^2 \alpha \sin^2 \beta

Skraćivanjem suprotnih članova −sin⁡2αsin⁡2β -\sin^2 \alpha \sin^2 \beta i sin⁡2αsin⁡2β \sin^2 \alpha \sin^2 \beta dobijamo desnu stranu identiteta, čime je dokaz završen:

sin⁡2α−sin⁡2β\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti