2458.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraze:

cos⁡(π3+α)cos⁡(π3−α)−cos⁡2α\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) - \cos^2 \alpha
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo adicione formule za kosinus zbira i razlike uglova:

cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta

Primenom formula na dati izraz dobijamo:

(cos⁡π3cos⁡α−sin⁡π3sin⁡α)(cos⁡π3cos⁡α+sin⁡π3sin⁡α)−cos⁡2α\left( \cos\frac{\pi}{3} \cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3} \sin\alpha \right) \left( \cos\frac{\pi}{3} \cos\alpha + \sin\frac{\pi}{3} \sin\alpha \right) - \cos^2 \alpha

Prepoznajemo razliku kvadrata u proizvodu:

cos⁡2π3cos⁡2α−sin⁡2π3sin⁡2α−cos⁡2α\cos^2\frac{\pi}{3} \cos^2\alpha - \sin^2\frac{\pi}{3} \sin^2\alpha - \cos^2 \alpha

Zamenjujemo poznate vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao π3 \frac{\pi}{3} (cos⁡π3=12, \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} , sin⁡π3=32 \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} ):

(12)2cos⁡2α−(32)2sin⁡2α−cos⁡2α\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cos^2\alpha - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \sin^2\alpha - \cos^2 \alpha

Kvadriramo vrednosti:

14cos⁡2α−34sin⁡2α−cos⁡2α\frac{1}{4} \cos^2\alpha - \frac{3}{4} \sin^2\alpha - \cos^2 \alpha

Oduzimamo slične članove uz cos⁡2α \cos^2\alpha (14cos⁡2α−cos⁡2α \frac{1}{4} \cos^2\alpha - \cos^2 \alpha ):

−34cos⁡2α−34sin⁡2α-\frac{3}{4} \cos^2\alpha - \frac{3}{4} \sin^2\alpha

Izvlačimo zajednički faktor −34: -\frac{3}{4} :

−34(cos⁡2α+sin⁡2α)-\frac{3}{4} (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet cos⁡2α+sin⁡2α=1 \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 da dobijemo konačno rešenje:

−34-\frac{3}{4}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti