2457. Adicione formule | Balkan Tutor

Primenjujemo adicionu formulu za tangens zbira uglova na prvi sabirak.

\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} + \text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}\alpha}

Zamenjujemo poznatu vrednost $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 .$

\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1 + \text{tg}\alpha}{1 - 1 \cdot \text{tg}\alpha} = \frac{1 + \text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}\alpha}

Slično, primenjujemo adicionu formulu za tangens razlike uglova na drugi sabirak.

\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} - \text{tg}\alpha}{1 + \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}\alpha}

Zamenjujemo vrednost $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 .$

\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{1 - \text{tg}\alpha}{1 + 1 \cdot \text{tg}\alpha} = \frac{1 - \text{tg}\alpha}{1 + \text{tg}\alpha}

Vraćamo dobijene izraze u početni izraz.

\frac{1 + \text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}\alpha} - \frac{1 - \text{tg}\alpha}{1 + \text{tg}\alpha}

Svodimo razlomke na zajednički imenilac, koji iznosi $(1 - \text{tg}\alpha)(1 + \text{tg}\alpha) = 1 - \text{tg}^2\alpha .$

\frac{(1 + \text{tg}\alpha)^2 - (1 - \text{tg}\alpha)^2}{1 - \text{tg}^2\alpha}

Razvijamo kvadrate binoma u brojiocu.

\frac{(1 + 2\text{tg}\alpha + \text{tg}^2\alpha) - (1 - 2\text{tg}\alpha + \text{tg}^2\alpha)}{1 - \text{tg}^2\alpha}

Oslobađamo se zagrada i sređujemo brojilac.

\frac{1 + 2\text{tg}\alpha + \text{tg}^2\alpha - 1 + 2\text{tg}\alpha - \text{tg}^2\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha} = \frac{4\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha}

Prepoznajemo formulu za tangens dvostrukog ugla $\text{tg}(2\alpha) = \frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha}$ i zapisujemo konačan rezultat.

2 \cdot \frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha} = 2\text{tg}(2\alpha)

655.g