2457.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz: tg(π4+α)−tg(π4−α) \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)

REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo adicionu formulu za tangens zbira uglova na prvi sabirak.

tg(π4+α)=tgπ4+tgα1−tgπ4tgα\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} + \text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}\alpha}

Zamenjujemo poznatu vrednost tgπ4=1. \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 .

tg(π4+α)=1+tgα1−1⋅tgα=1+tgα1−tgα\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1 + \text{tg}\alpha}{1 - 1 \cdot \text{tg}\alpha} = \frac{1 + \text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}\alpha}

Slično, primenjujemo adicionu formulu za tangens razlike uglova na drugi sabirak.

tg(π4−α)=tgπ4−tgα1+tgπ4tgα\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} - \text{tg}\alpha}{1 + \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}\alpha}

Zamenjujemo vrednost tgπ4=1. \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 .

tg(π4−α)=1−tgα1+1⋅tgα=1−tgα1+tgα\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{1 - \text{tg}\alpha}{1 + 1 \cdot \text{tg}\alpha} = \frac{1 - \text{tg}\alpha}{1 + \text{tg}\alpha}

Vraćamo dobijene izraze u početni izraz.

1+tgα1−tgα−1−tgα1+tgα\frac{1 + \text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}\alpha} - \frac{1 - \text{tg}\alpha}{1 + \text{tg}\alpha}

Svodimo razlomke na zajednički imenilac, koji iznosi (1−tgα)(1+tgα)=1−tg2α. (1 - \text{tg}\alpha)(1 + \text{tg}\alpha) = 1 - \text{tg}^2\alpha .

(1+tgα)2−(1−tgα)21−tg2α\frac{(1 + \text{tg}\alpha)^2 - (1 - \text{tg}\alpha)^2}{1 - \text{tg}^2\alpha}

Razvijamo kvadrate binoma u brojiocu.

(1+2tgα+tg2α)−(1−2tgα+tg2α)1−tg2α\frac{(1 + 2\text{tg}\alpha + \text{tg}^2\alpha) - (1 - 2\text{tg}\alpha + \text{tg}^2\alpha)}{1 - \text{tg}^2\alpha}

Oslobađamo se zagrada i sređujemo brojilac.

1+2tgα+tg2α−1+2tgα−tg2α1−tg2α=4tgα1−tg2α\frac{1 + 2\text{tg}\alpha + \text{tg}^2\alpha - 1 + 2\text{tg}\alpha - \text{tg}^2\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha} = \frac{4\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha}

Prepoznajemo formulu za tangens dvostrukog ugla tg(2α)=2tgα1−tg2α \text{tg}(2\alpha) = \frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha} i zapisujemo konačan rezultat.

2⋅2tgα1−tg2α=2tg(2α)2 \cdot \frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha} = 2\text{tg}(2\alpha)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti