PrethodniSledeći
2453.

651.g

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost izraza sin⁡(π4+α), \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) , ako je poznato da je sin⁡α=m \sin \alpha = m i da ugao α \alpha pripada intervalu (−π2,π2). \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) .

REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira: sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y. \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y .

sin⁡(π4+α)=sin⁡π4cos⁡α+cos⁡π4sin⁡α\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha

Zamenjujemo poznate vrednosti za sin⁡π4 \sin \frac{\pi}{4} i cos⁡π4, \cos \frac{\pi}{4} , koje iznose 22. \frac{\sqrt{2}}{2} .

sin⁡(π4+α)=22cos⁡α+22sin⁡α\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha

Da bismo odredili vrednost izraza, moramo pronaći cos⁡α. \cos \alpha . Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1. \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .

cos⁡2α=1−sin⁡2α=1−m2\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - m^2

Kako ugao α \alpha pripada četvrtom ili prvom kvadrantu, odnosno α∈(−π2,π2), \alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) , funkcija kosinus je u tom intervalu pozitivna.

cos⁡α=1−m2\cos \alpha = \sqrt{1 - m^2}

Sada zamenjujemo dobijenu vrednost za cos⁡α \cos \alpha i datu vrednost sin⁡α=m \sin \alpha = m u početni izraz.

sin⁡(π4+α)=22⋅1−m2+22⋅m\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - m^2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot m

Izvlačimo zajednički faktor 22 \frac{\sqrt{2}}{2} ispred zagrade kako bismo dobili konačan oblik rešenja.

sin⁡(π4+α)=22(1−m2+m)\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\sqrt{1 - m^2} + m\right)

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu