2441. Adicione formule | Balkan Tutor

Primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .$

\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{6} \cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6} \sin\alpha

Zamenjujemo poznate vrednosti za $\sin\frac{\pi}{6}$ i $\cos\frac{\pi}{6} .$

\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{2} \cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha

Da bismo odredili $\sin\alpha$ i $\cos\alpha ,$ koristimo vezu između tangensa i kosinusa: $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \text{tg}^2\alpha} .$

\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + (2 - \sqrt{3})^2} = \frac{1}{1 + 4 - 4\sqrt{3} + 3} = \frac{1}{8 - 4\sqrt{3}}

Sređujemo izraz u imeniocu izvlačenjem zajedničkog faktora.

\cos^2\alpha = \frac{1}{4(2 - \sqrt{3})} = \frac{1}{4(2 - \sqrt{3})} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4(4 - 3)} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}

Kako $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) ,$ kosinus je pozitivan. Koristimo formulu za polovinu ugla ili transformaciju $2 + \sqrt{3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2} .$

\cos\alpha = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}

Sada računamo $\sin\alpha$ koristeći relaciju $\sin\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \cos\alpha .$

\sin\alpha = (2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} + 2 - 3 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}

Vraćamo dobijene vrednosti u početni izraz.

\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}

Sređujemo razlomak i racionališemo imenilac.

\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{3} + 1 + 3 - \sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

651.v