2441.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Izračunati: sin⁡(π6+α), \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) , ako je tgα=2−√3 \text{tg} \alpha = 2 - √3 i α∈(0,π2). \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) .

REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira: sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β. \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .

sin⁡(π6+α)=sin⁡π6cos⁡α+cos⁡π6sin⁡α\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{6} \cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6} \sin\alpha

Zamenjujemo poznate vrednosti za sin⁡π6 \sin\frac{\pi}{6} i cos⁡π6. \cos\frac{\pi}{6} .

sin⁡(π6+α)=12cos⁡α+32sin⁡α\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{2} \cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha

Da bismo odredili sin⁡α \sin\alpha i cos⁡α, \cos\alpha , koristimo vezu između tangensa i kosinusa: cos⁡2α=11+tg2α. \cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \text{tg}^2\alpha} .

cos⁡2α=11+(2−3)2=11+4−43+3=18−43\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + (2 - \sqrt{3})^2} = \frac{1}{1 + 4 - 4\sqrt{3} + 3} = \frac{1}{8 - 4\sqrt{3}}

Sređujemo izraz u imeniocu izvlačenjem zajedničkog faktora.

cos⁡2α=14(2−3)=14(2−3)⋅2+32+3=2+34(4−3)=2+34\cos^2\alpha = \frac{1}{4(2 - \sqrt{3})} = \frac{1}{4(2 - \sqrt{3})} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4(4 - 3)} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}

Kako α∈(0,π2), \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) , kosinus je pozitivan. Koristimo formulu za polovinu ugla ili transformaciju 2+3=4+232=(3+1)22. 2 + \sqrt{3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2} .

cos⁡α=2+34=4+2322=(3+1)222=3+122\cos\alpha = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}

Sada računamo sin⁡α \sin\alpha koristeći relaciju sin⁡α=tgα⋅cos⁡α. \sin\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \cos\alpha .

sin⁡α=(2−3)⋅3+122=23+2−3−322=3−122\sin\alpha = (2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} + 2 - 3 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}

Vraćamo dobijene vrednosti u početni izraz.

sin⁡(π6+α)=12⋅3+122+32⋅3−122\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}

Sređujemo razlomak i racionališemo imenilac.

sin⁡(π6+α)=3+1+3−342=442=12=22\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{3} + 1 + 3 - \sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti